Bienvenida al foro
abi recuerda hacer uso
de las reglas del foro como el uso del \( \LaTeX \) para las fórmulas matemáticas.
a)Para el primero veamos si \( a_n \in [0,2] \) para todo natural \( n \).
Para \( n=1 \) tenemos que \( a_1 = 2 \) , para \( n= 2 \) tenemos \( a_2 = 1 \) también se cumple, supongamos que para \( n \geq 2 \) tenemos que \( a_n \in [0,2] \) luego:
\( 0 \leq a_n \leq 2 \) multiplicamos por \( -1 \) y queda \( 0 \geq -a_n \geq -2 \) sumamos tres y queda \( 3 \geq 3-a_n \geq 1 \) sólo te falta el paso final para ver que es acotada.
b) Tenemos \( a_3 = \dfrac{1}{2} < 1 = a_2 < a_1 = 2 \) supongamos cierto que la sucesión es decreciente hasta \( n-1 \geq 1 \) que es lo mismo que \( a_n < a_{n-1} \) en este caso multiplicamos por \( -1 \) y queda \( -a_n > -a_{n-1} \) sumamos tres \( 3 - a_n > 3- a_{n-1} \) sólo queda el paso final para ver que es decreciente.
c) Por a) y b) tenemos....
Sabiendo que tiene límite:
\( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_{n+1} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{3-a_n} \) queda \( L = \dfrac{1}{3-L} \) luego \( L^2 - 3L + 1 = 0 \) sólo hay que resolver la ecuación de segundo grado y te saldrán dos soluciones, pero con los datos del problema es fácil descartar la más grande.
