Autor Tema: Demostraciones sobre la proyección ortogonal.

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16 Septiembre, 2021, 07:58 pm
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franma

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Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( V \) un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno, \( S \subset V \) un subespacio vectorial y \( P_S(v) \) la proyección ortogonal de \( v \) sobre \( S \); es decir \( P_S(v) \) es el único vector que verifica que \( P_S(v) \in S \) y \( v − P_S(v) \in S^\perp \).
Probar que:
1. \( P_S(s) = s \forall\  s\  \in\  S \).
2. \( P_S(v) = 0 \forall \  v\  \in\  S^\perp \)
3. La función \( P_S : V \to V \) dada por \( v\xrightarrow{P_S} P_S(v) \) es una transformación lineal.

En los apuntes me definen la proyección ortogonal como:
\( V=S\oplus{S^\perp} \)
Entonces para cualquier \( v\in V \) tenemos que \( v=v_S+v_\perp \). Donde \( v_S \in S \) y \( v_\perp \in S^\perp \)
Luego \( P_S(v)=v_S \).

Entonces intento lo siguiente:
1. Tenemos que si \( s\in S \) entonces lo podemos escribir como \( s=s+ 0\cdot v_\perp \) entonces directamente \( P_S(s)=s \)
2. Razonando de manera análoga si \( v\in S^\perp \) entonces se puede escribir como \( v=0\cdot v_S+v \) de donde \( P_S(v)=v \)

3. Comprobemos que es una transformación lineal:
El transformado del \( \vec{0} \): \( P_S(\vec{0})=\vec{0} \) por ser suma directa.

Aquí no se exactamente como escribir las otras 2 partes para la prueba de transformación lineal.

¿Están correctas las primeras 2 partes? ¿Alguna idea para el 3?

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

16 Septiembre, 2021, 08:19 pm
Respuesta #1

Masacroso

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¿Están correctas las primeras 2 partes? ¿Alguna idea para el 3?

Saludos,
Franco.

Yo veo bien las dos primeras partes, aunque quizá sea más correcto escribir \( s=s+\vec 0 \), ya que el vector cero pertenece a cualquier subespacio de \( V \). Para la tercera observa que, al ser \( S \) un subespacio vectorial, entonces \( v\in S\implies \lambda v\in S \) (para todo \( \lambda \in \mathbb{K} \)), y también que \( x,y\in S\implies x+y\in S \), y por otra parte que si \( v=v_S+v_{\bot} \) y \( w=w_S+w_{\bot} \) entonces \( v_S+w_S\in S \), etc...

Si tienes algún problema con la demostración después de lo dicho recuerda que \( v_S \) y \( w_S \) son únicos, es decir, las descomposiciones \( v=v_S+v_{\bot} \) y \( w=w_S+w_{\bot} \) son únicas, que quiere decir que para un \( v\in V \) existe un único \( r\in S \) y un único \( t\in S^{\bot} \) tales que \( v=r+t \).

16 Septiembre, 2021, 08:35 pm
Respuesta #2

franma

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Buenas Masacroso,

Creo que con lo que me dices lo pude hacer:

Sean \( v,w\in V \).
\( v=v_S+v_\perp \)
\( w=w_S+w_\perp \)
\( v+w=v_S+v_\perp+w_S+w_\perp=(v_S+w_S)+(w_\perp+v_\perp) \) por ser \( S \) y \( S^\perp \) subespacios vectoriales tenemos que \( (v_S+w_S) \in S \) y que \( (w_\perp+v_\perp)\in S^\perp \), como es suma directa la descomposición es única, luego \( P_S(v+w)=(v_S+w_S)=P_S(v)+P_S(w) \)

Para la otra propiedad:
\( \lambda v = \lambda (v_S+v_\perp)=\lambda v_S + \lambda v_\perp \) , nuevamente por ser \( S \) y \( S^\perp \) subespacios vectoriales tenemos que \( \lambda v_S \in S \) y que \( \lambda v_\perp \).
Entonces tenemos que \( P_S(\lambda v)=\lambda v_S =\lambda P_S(v) \)

¿Así esta correcto?

Gracias por la ayuda.

Saludos,
Franco.
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17 Septiembre, 2021, 03:26 am
Respuesta #3

Masacroso

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Buenas Masacroso,

Creo que con lo que me dices lo pude hacer:

Sean \( v,w\in V \).
\( v=v_S+v_\perp \)
\( w=w_S+w_\perp \)
\( v+w=v_S+v_\perp+w_S+w_\perp=(v_S+w_S)+(w_\perp+v_\perp) \) por ser \( S \) y \( S^\perp \) subespacios vectoriales tenemos que \( (v_S+w_S) \in S \) y que \( (w_\perp+v_\perp)\in S^\perp \), como es suma directa la descomposición es única, luego \( P_S(v+w)=(v_S+w_S)=P_S(v)+P_S(w) \)

Para la otra propiedad:
\( \lambda v = \lambda (v_S+v_\perp)=\lambda v_S + \lambda v_\perp \) , nuevamente por ser \( S \) y \( S^\perp \) subespacios vectoriales tenemos que \( \lambda v_S \in S \) y que \( \lambda v_\perp \).
Entonces tenemos que \( P_S(\lambda v)=\lambda v_S =\lambda P_S(v) \)

¿Así esta correcto?

Gracias por la ayuda.

Saludos,
Franco.

Sí, así es, todo correcto ( o al menos yo no veo ningún error).

17 Septiembre, 2021, 03:35 am
Respuesta #4

franma

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Muchas gracias por revisarlo y por la ayuda Masacroso.

Saludos,
Franco.
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