Autor Tema: Polinomio con raíces complejas

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16 Septiembre, 2021, 10:00 am
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alucard

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Hola tengo este enunciado 

Determine el polinomio \( P\in R[x] \) de grado mínimo  , que tiene como raíces a todos los \( z\in C \) tales que \( z^2|z|=iz^3\bar z \) y tal que \( P(i)=6i \)

No entiendo que quieren decir con "grado minimo" y esto es lo que planteo 

\( z^2|z|=iz^3\bar z \) llego a

\( z^2(|z|-iz\bar z)=0 \) de donde 

\( z^2=0 \) o \( |z|=iz\bar z \)

la primera se cumple cundo a=0 o b=0 , pero me esta costando resolver la segundo expresión y enganchar esos resultados con lo que me pide el problema . me pueden orientar por favor 
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

16 Septiembre, 2021, 10:37 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Determine el polinomio \( P\in R[x] \) de grado mínimo  , que tiene como raíces a todos los \( z\in C \) tales que \( z^2|z|=iz^3\bar z \) y tal que \( P(i)=6i \)

No entiendo que quieren decir con "grado minimo" y esto es lo que planteo

De grado mínimo se refiere a que calcules al que tiene menor grado de todos los posibles que cumplan esas condiciones. Por ejemplo si te pidiesen un polinomio que tiene como raíces \( x=1 \)  y \( x=2 \). Valdría \( (x-1)(x-2) \) pero también, por decir algo, \( (x-1)^5(x-2)^{10} \).

Citar
\( z^2|z|=iz^3\bar z \) llego a

\( z^2(|z|-iz\bar z)=0 \) de donde 

\( z^2=0 \) o \( |z|=iz\bar z \)

la primera se cumple cundo a=0 o b=0 , pero me esta costando resolver la segundo expresión y enganchar esos resultados con lo que me pide el problema . me pueden orientar por favor

Ten en cuenta que \( z\bar z=|z|^2 \).

Saludos.

16 Septiembre, 2021, 11:16 am
Respuesta #2

alucard

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hola Luis entonces me quedaría que 

\( |z|=ii|z|^2 \to 1=i|z| \). al elevar al cuadrado , ¿no me queda incompatible? porque \( i^2=-1 \)

Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

16 Septiembre, 2021, 11:18 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

hola Luis entonces me quedaría que 

\( |z|=ii|z|^2 \to 1=i|z| \). al elevar al cuadrado , ¿no me queda incompatible? porque \( i^2=-1 \)

Si.

Saludos.

16 Septiembre, 2021, 11:37 am
Respuesta #4

alucard

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entonces la respuesta seria que el polinomio buscado es el polinomio nulo , correcto  ?? porque  \( Re(z)=0 \) y la  \( img(z)=0 \) y como me piden \( p(i)=6i \) entonces es el nulo , esta bien ?
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16 Septiembre, 2021, 11:39 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

entonces la respuesta seria que el polinomio buscado es el polinomio nulo , correcto  ?? porque  \( Re(z)=0 \) y la  \( img(z)=0 \) y como me piden \( p(i)=6i \) entonces es el nulo , esta bien ?

¿El polinomio nulo cumple \( p(i)=6i \)?.

Saludos.

16 Septiembre, 2021, 11:46 am
Respuesta #6

alucard

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pero a=0 y b=0 ? por ende la raiz del polinomio no es \( z=0+0bi \) de  donde \( P(i)=P(0+0bi)=6(0+0bi) \) ??
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

16 Septiembre, 2021, 11:51 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

pero a=0 y b=0 ? por ende la raiz del polinomio no es \( z=0+0bi \) de  donde \( P(i)=P(0+0bi)=6(0+0bi) \) ??

Me cuesta entenderte; pero sospecho que te estás liando.

Lo que has obtenido es que te piden un polinomio cuya raíz sea \( z=0. \) y además que \( p(i)=6i. \)

En general un polinomio complejo que tenga exclusivamente a \( z_0 \) es de la forma \( p(z)=k(z-z_0)^n \) con \( n\geq 1 \) y \( k\in \Bbb C \).

En tu caso \( z_0=0 \), y lo queremos del menor grado posible así que \( p(z)=kz \). Ahora escoge \( k \) para que \( p(i)=6i \).

Saludos.