Autor Tema: Solución de un sistema de ecuaciones

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16 Septiembre, 2021, 09:34 am
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alucard

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Hola tengo el siguiente enunciado 
Sea \( A\in R^{3x3} \) y \( b\in R^{3x1},b\neq 0 \) si \[ \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{-1}\end{pmatrix} \] es solucion del sistema \( Ax=b \)  y \[ \begin{pmatrix}{2}\\{2}\\{2}\end{pmatrix} \]ces una solución del sistema \( Ax=2b \), entonces una solución del sistema \( Ax=b \) cuyas coordenadas suman -6 es:

No entiendo como encarar el problema  , si no estoy equivocado ambas soluciones son soluciones particulares del sistema , por ende debería hallar las del sistema \( Ax=0 \)  para  poder plantear que la suma de la solución del homogéneo mas la solución particular me den la solución del sistema , pero no sé si va por ese lado el problema ,  no entiendo donde tengo que enganchar el dato de "la suma de las coordenadas"

Gracias 
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

16 Septiembre, 2021, 10:42 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola tengo el siguiente enunciado 
Sea \( A\in R^{3x3} \) y \( b\in R^{3x1},b\neq 0 \) si \[ \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{-1}\end{pmatrix} \] es solucion del sistema \( Ax=b \)  y \[ \begin{pmatrix}{2}\\{2}\\{2}\end{pmatrix} \]ces una solución del sistema \( Ax=2b \), entonces una solución del sistema \( Ax=b \) cuyas coordenadas suman -6 es:

No entiendo como encarar el problema  , si no estoy equivocado ambas soluciones son soluciones particulares del sistema , por ende debería hallar las del sistema \( Ax=0 \)  para  poder plantear que la suma de la solución del homogéneo mas la solución particular me den la solución del sistema , pero no sé si va por ese lado el problema ,  no entiendo donde tengo que enganchar el dato de "la suma de las coordenadas"

Varias ideas:

- Si \( u \) es solución de \( Ax=2b \) entonces \( u/2 \) es solución de \( Ax=b \).
- Si \( u,v \) son solución de \( Ax=b \) entonces \( u-v \) es solución de \( Ax=0 \).
- Si \( u \) es solución de \( Ax=b \) y \( w \) solución de \( Ax=0 \), entonces \( u+\lambda w \) es solución de \( Ax=b \) para cualquier \( \lambda \).

Saludos.

16 Septiembre, 2021, 11:06 am
Respuesta #2

alucard

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Hola Luis , disculpa no estoy entendiendo donde hay que enganchar el tema de las coordenadas en las ideas que me indicas  :banghead:
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

16 Septiembre, 2021, 11:15 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola Luis , disculpa no estoy entendiendo donde hay que enganchar el tema de las coordenadas en las ideas que me indicas  :banghead:

¿Qué quieres decir con "enganchar el tema de las coordenadas"? Si aplicas lo que te he dicho a tu caso verás que:

\( \begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{-1}\end{pmatrix}+\lambda\left(\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{-1}\end{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}{2}\\{2}\\{2}\end{pmatrix}\right)  \)

es una familia de soluciones de \( Ax=b \). Para cada valor de \( \lambda \) tienes una solución.

Entre ellas busca una donde las coordenadas sumen lo pedido.

Saludos.