Autor Tema: Encontrar complemento ortogonal de un subconjunto (No subespacio vectorial).

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

15 Septiembre, 2021, 11:15 pm
Leído 88 veces

franma

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 855
  • País: uy
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:
En \( \mathbb{R}^3 \) con el producto interno \( \langle (x,y,z),(x',y',z') \rangle = xx'+2yy'+3zz' \) , consideramos el conjunto \( A = \{(n,2n,4n): n \in \mathbb{N} \} \cup{\{ (1,1,1) \}} \). Calcular \( A^\perp{} \).

Mi duda esta en como justificar que \( A^\perp=\{(1,2,4),(1,1,1)\}^\perp{} \).

Agrego:

Necesito que si \( (x,y,z)\in A^\perp \) entonces
\( \langle (x,y,z),(n,2n,4n) \rangle = \langle (x,y,z),n(1,2,4) \rangle = n\langle (x,y,z),(1,2,4) \rangle = 0 \)
De donde se ve claramente que me basta con que \( \langle (x,y,z),(1,2,4) \rangle = 0 \).

Solamente falta imponer ortogonalidad con el \( (1,1,1) \) de donde concluimos que \( A^\perp=\{(1,2,4),(1,1,1)\}^\perp{} \).

¿Alguna idea? ¿Esta bien justificado?

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

15 Septiembre, 2021, 11:38 pm
Respuesta #1

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,570
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola franma

Lo veo bien, todo vector ortogonal a \( \left\{{(1,2,4),(1,1,1)}\right\} \) será ortgonal a A


Saludos

15 Septiembre, 2021, 11:55 pm
Respuesta #2

franma

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 855
  • País: uy
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas delmar,

Gracias por revisarlo :).

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

16 Septiembre, 2021, 08:56 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 50,124
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 En general una propiedad del complemento ortogonal es que:

\(  A^\bot=\langle A \rangle^\bot \)
 
 es decir, el ortogonal de un conjunto de vectores es el mismo que el ortogonal del subespacio que generan. Aplicando esto en tu caso basta notar que \( A \) y \\( \{(1,2,4),(1,1,1)\} \) general el mismo subespacio vectorial.

Saludos.

16 Septiembre, 2021, 07:34 pm
Respuesta #4

franma

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 855
  • País: uy
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas Luis,

Es cierto, de hecho esa propiedad la probé anteriormente. No me di cuenta de aplicarla aquí.

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.