Autor Tema: Dominio e intervalos donde la función es continua

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12 Septiembre, 2021, 05:44 pm
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crishchess

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Hola tengo problemas con este ejercicio que planteo a continuación

Determine el dominio de definición de la función compuesta \( f \circ g(x) = f(g(x))  \). Luego determine los intervalos donde la función compuesta es continua. Escoge uno de los puntos terminales (se denota como \( a \) en continuación) de estos intervalos de continuidad y calcule UNO de los límites unilaterales \( \displaystyle\lim_{x \to{\pm{}}a}{f(g(x))} \)

\( f(x)= \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}-3}{x-3} \) ; \( g(x)=3x+1 \)


- Calculando la función compuesta

\( f\circ{g(x)}=f(g(x))=f(3x+1) = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-3}{3x+1-3} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-3}{3x-2} \)

- Calculando su dominio

Se debe cumplir que el denominador sea distinto de \( 0 \)

\( 3x-2 \neq 0 \)
\( 3x = 2  \)
\( x \neq \displaystyle\frac{2}{3} \)

Además debe cumplir que el radicando de la raíz del numerador sea mayor o igual que cero

\( 3x+1 \geq{} 0 \)
\( 3x \geq{} -1 \)
\( x \geq{} \displaystyle\frac{-1}{3} \)

Entonces el dominio es la intersección de ambas condiciones

\( Dom \; f\circ{g(x)} = [-\displaystyle\frac{1}{3} +\infty[ - \{ \displaystyle\frac{2}{3} \}  \)

- Continuidad de la función

Para ver la continuidad hay que calcular las asíntotas verticales. Del dominio se observa que hay una asíntota vertical en \( x=\displaystyle\frac{2}{3} \)

Entonces la función es continua en \( [-\displaystyle\frac{1}{3} \; \displaystyle\frac{2}{3}[ \cup{} ]\displaystyle\frac{2}{3} \; +\infty[ \)

- Límite

Calculando el límite

\( \displaystyle\lim_{x \to{}2/3+}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-3}{3x-2}} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3} -3}{0} = - \infty \)

Muchas gracias.

Saludos 

12 Septiembre, 2021, 06:34 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Yo creo que está todo bien. Fíjate que este tipo de funciones (racionales, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas, radicales o combinaciones de ellas) son continuas allí donde estén definidas.

Calculando el límite

\( \displaystyle\lim_{x \to{}2/3+}{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-3}{3x-2}} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3} -3}{0} = - \infty \)

En estos límites yo suelo hacer un matiz y es indicar el signo del cero en el superíndice ya que si no el signo de esta expresión \[    \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3} -3}{0}
 \] depende de por dónde nos acercamos al cero. En este caso, dado que cuando \[ x\rightarrow{2/3 ^+} \] es \[ 3x-2>0 \] nos estamos acercando al cero por la derecha, por lo que yo suelo recomendar \[    \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3} -3}{0^{\color{red}+\color{black}} } = - \infty \] 

Un saludo.

12 Septiembre, 2021, 06:42 pm
Respuesta #2

crishchess

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Muchas gracias por tu pronta respuesta  y confirmarme que estaba bien lo que he planteado. No me había dado cuenta en la sutileza del acercamiento del 0 en el límite


Saludos

13 Septiembre, 2021, 09:34 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

- Calculando la función inversa

\( f\circ{g(x)}=f(g(x))=f(3x+1) = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-3}{3x+1-3} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-3}{3x-2} \)

 Un detalle; ahí quisiste decir función compuesta.

Saludos.

16 Septiembre, 2021, 05:25 am
Respuesta #4

crishchess

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Hola

- Calculando la función inversa

\( f\circ{g(x)}=f(g(x))=f(3x+1) = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-3}{3x+1-3} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{3x+1}-3}{3x-2} \)

 Un detalle; ahí quisiste decir función compuesta.

Saludos.

Toda la razón lo editare de inmediato.

Un saludo