Autor Tema: Dependencia continua de los autovalores de un operador.

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11 Septiembre, 2021, 08:32 pm
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S.S

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Hola todos, estoy trabajando en la  siguiente afirmación, pero no sé si esta bien la conclusión a la que estoy llegando. (La marque en rojo.) Gracias.

\( {\bf Afirmación: } \)Los autovalores de un operador \( L \in l(\mathbb{R}^{n}) \) dependen continuamente de \(  L  \).

Para demostrar esta afirmación voy a usar los dos siguientes lemas:
\( {Lema 1.} \)
 \( L \in l \mathbb({R}^n)  \). Dado \( \epsilon > 0  \), existe  \(  \delta > 0 \) tal que, si \( T \in l \mathbb({R}^n) \) y \(  \| T - L \|< \delta  \), entonces para cada  \( \overline{\lambda} \in Esp(T) \) existe \(  \lambda \in Esp(L) \) con \(  \left |{\lambda - \overline{\lambda}}\right |< \epsilon  \).

\( {Lema 2.} \)
Se \( \lambda \) es um autovalor de  \(  L \in l (\mathbb{R}^{n}) \) de multiplicidad  \(  m  \), entonces existe \(  \epsilon > 0  \)  y \( \delta>0  \) tal que, si \(  \| T - L \|< \delta \) la suma de las multiplicidades de los autovalores de \(  T  \) contenidos en la bola de radio \(  \epsilon  \) y centro \(  \lambda \) es a lo mas \(  m \).

Teniendo estos dos lemas, sean \(  \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots , \lambda_{k}  \) los autovalores distintos de \(  L  \) con multiplicidad \(  n_{1}, n_{2}, \cdots , n_{k}  \). Para cada \(  \lambda_{i}, i = \overline{1,n}  \) por el lema \( 2 \) existen \(  \epsilon_{i}> 0  \) y \(  \delta_{i} > 0  \) tal que si \(  \| T - L \|< \delta_{i}  \)...
Ahora sea \( \epsilon < min\{\epsilon_{i}: i = \overline{1,n} \} \), entonces para este \(  \epsilon  \) por el lema \( 1 \) existe \( \tilde{\delta} > 0  \) tal que si...
Sea \(  \delta < min\{\delta_{i}: i = \overline{1,n} \}\cup \{ \tilde{\delta} \}  \), con esta escogencia de \(  \epsilon  \) y \(  \delta \) se tiene que, si \(  \| T - L \|< \delta  \) todos los autovalores de \(  T  \) estan contenidos en la bolas de centro \(  \lambda_{k}  \) además la suma de las multiplicidades de los autovales contenidos en cada bola con centro en \(  \lambda_{k} \) no supera la multiplicidad de \(  \lambda_{k}  \)