Autor Tema: Cruce distribuciones normales

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10 Septiembre, 2021, 03:22 pm
Respuesta #10

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Esta imposibilidad también se puede extender también para:


\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_i\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_i(x)dt\leq \displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_j(x)dt \)


10 Septiembre, 2021, 03:25 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Esta imposibilidad también se puede extender también para:


\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_i\displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_i(x)dt\leq \displaystyle\int_{-\infty}^{x}F_j(x)dt \)

No se si te entiendo. Si es para un x concreto, esa desigualdad si puede ser posible.

Si es para todo \( x \), obviamente si no es posible para \( x=+\infty \) no es posible "para todo \( x \)".


Saludos.

CORREGIDO (Entendí mal)

10 Septiembre, 2021, 03:27 pm
Respuesta #12

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i) Me faltó poner que tienen la misma media, entonces

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}F_i(x)dt= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}F_j(x)dt \) y la desigualdad debe cumplirse para todo \( x \). No me queda claro tampoco por qué no se cumpliría para \( x=+\infty
 \) si no tuvieran la misma media.

ii) No entendí en el argumento anterior si todas tienen que tener distinta varianza. El argumento no es válido?, si por ejemplo dos, tres, etc. distribuciones tiene la misma varianza y el resto distinta?.


10 Septiembre, 2021, 03:47 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

i) Me faltó poner que tienen la misma media, entonces

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}F_i(x)dt= \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}F_j(x)dt \) y la desigualdad debe cumplirse para todo \( x \). No me queda claro tampoco por qué no se cumpliría para \( x=+\infty
 \) si no tuvieran la misma media.

Olvida lo que dije; no leí bien esa expresión. Luego la repienso. Pero primero cerremos las dudas de lo otro.

Citar
ii) No entendí en el argumento anterior si todas tienen que tener distinta varianza. El argumento no es válido?, si por ejemplo dos, tres, etc. distribuciones tiene la misma varianza y el resto distinta?.

Lo que razono es que si tenemos:

\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_iF_i(x)\leq \color{red}F_j(x)\color{black} \) (1)

también tenemos:

\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_i(1-F_i(x))\geq (1-\color{red}F_j(x)\color{black}) \) (2)

Dividiendo por la de más varianza y tomando límites esas expresiones se transforman en:

\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_iQ_i\leq Q_j \) (I)
\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_iQ_i\geq Q_j \) (II)

donde:

\( Q_i=\begin{cases}{1}&\text{si su varianza coincide con la máxima }\\0 & \text{si su varianza es menor que la máxima}\end{cases} \)

Nota que desde luego al menos una de las \( Q_i \) vale \( 1 \) pero podría haber varias (todas correspondientes a variables con la misma varianza igual al máximo).

Entonces para que se cumpla (I) necesariamente la variable \( j \) tiene que alcanzar la máxima varianza, es decir, \( Q_j=1 \).
Pero entonces para que se cumpla (ii) todas las \( Q_i  \)también tienen que ser iguales a \( 1 \).

Es decir todas las variables tienen que tener la misma varianza.

Estoy suponiendo que todos los \( a_i>0 \). En otro caso si algún \( a_i=0 \) simplemente esa variable no participa en la ecuación.

Saludos.

10 Septiembre, 2021, 04:13 pm
Respuesta #14

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Ok, si puedes ver mi argumento para familias con igual escala-locación, pues tu argumento es solamente válido para distribuciones normales, no?

10 Septiembre, 2021, 04:30 pm
Respuesta #15

Luis Fuentes

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Hola

Ok, si puedes ver mi argumento para familias con igual escala-locación, pues tu argumento es solamente válido para distribuciones normales, no?

No sé si leiste mi comentario. En principio es insuficiente:

Citar
Yo lo pensé de esta forma,

Probar (para normales)

\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_iF_i(x)\leq F_j(x) \)

no es equivalente a probar

\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_iF(\displaystyle\frac{x-\mu_i}{\sigma_i})\leq F(\displaystyle\frac{x-\mu_j}{\sigma_j}) \)

siendo \( F \) la distribución normal cero, uno. Se cumple que \( F(\displaystyle\frac{x-\mu_i}{\sigma_i})+F(\displaystyle\frac{\mu_i-x}{\sigma_i})=1. \)

entonces, sustituyendo, esa desigualdad puede escribirse como

\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_iF(\displaystyle\frac{\mu_i-x}{\sigma_i})\geq F(\displaystyle\frac{\mu_j-x}{\sigma_j}). \) Lo cual es una contradicción, no?

Esta bien y puede que lleve a una contradicción. Pero desde no es tan directo. Fíjate que las dos desigualdades que obtienes no son la misma. Sin pérdida de generalidad por comodidad podemos suponer \( u_j=0 \).

Las desigualdades quedan:

\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_iF(\displaystyle\frac{x-\mu_i}{\sigma_i})\leq F(\displaystyle\frac{x}{\sigma_j}) \)

\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_iF(\displaystyle\frac{\mu_i-x}{\sigma_i})\geq F(\displaystyle\frac{-x}{\sigma_j}). \)

Si en la segunda hacemos el cambio \( x \) por \( -x \) queda:

\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_iF(\displaystyle\frac{\mu_i+x}{\sigma_i})\geq F(\displaystyle\frac{x}{\sigma_j}). \)

Pero en principio no es contradictorio porque \( F(\displaystyle\frac{\mu_i+x}{\sigma_i})\geq F(\displaystyle\frac{x-\mu_i}{\sigma_i}) \).

Saludos.

10 Septiembre, 2021, 04:45 pm
Respuesta #16

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i) Por qué \( F(\displaystyle\frac{\mu_i+x}{\sigma_i})\geq F(\displaystyle\frac{x-\mu_i}{\sigma_i})
 \). Supongamos \( \mu_i=-1 \) entonces para \( x=-10 \) nos queda \( F(\displaystyle\frac{-11}{\sigma_i})\geq F(\displaystyle\frac{-9}{\sigma_i})
 \) lo cual no es cierto.

ii) Pero no queda tipo un sandwich

\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_iF(\displaystyle\frac{x-\mu_i}{\sigma_i})\leq F(\displaystyle\frac{x}{\sigma_j})
\leq \displaystyle\sum_{i\neq j}a_iF(\displaystyle\frac{\mu_i+x}{\sigma_i})  \)

Eso debería ser suficiente para invalidar la existencia de combinaciones lineales convexas, pero no me doy cuenta, simplemente lo intuyo.

10 Septiembre, 2021, 05:35 pm
Respuesta #17

Luis Fuentes

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i) Por qué \( F(\displaystyle\frac{\mu_i+x}{\sigma_i})\geq F(\displaystyle\frac{x-\mu_i}{\sigma_i})
 \). Supongamos \( \mu_i=-1 \) entonces para \( x=-10 \) nos queda \( F(\displaystyle\frac{-11}{\sigma_i})\geq F(\displaystyle\frac{-9}{\sigma_i})
 \) lo cual no es cierto.

Si lo es si la media es positiva.

ii) Pero no queda tipo un sandwich

Citar
\( \displaystyle\sum_{i\neq j}a_iF(\displaystyle\frac{x-\mu_i}{\sigma_i})\leq F(\displaystyle\frac{x}{\sigma_j})
\leq \displaystyle\sum_{i\neq j}a_iF(\displaystyle\frac{\mu_i+x}{\sigma_i})  \)

Eso debería ser suficiente para invalidar la existencia de combinaciones lineales convexas, pero no me doy cuenta, simplemente lo intuyo.

¿Dónde está la contradicción si la media es positiva?. Fíjate que lo único que estamos diciendo ahí es que para que se de la desigualdad la media de la \( F_j \) debe de ser la menor de todas; es lo que decíamos para el caso trivial de igual varianza.

Saludos.

10 Septiembre, 2021, 05:37 pm
Respuesta #18

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La media no tiene que ser positiva, puede haber medias positivas y otras negativas.

10 Septiembre, 2021, 05:39 pm
Respuesta #19

Luis Fuentes

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Hola

La media no tiene que ser positiva, puede haber medias positivas y otras negativas.

Bien; pues como ten comenté antes, ese argumento lo único que dice, por ahora, es que para que la desigualdad pueda darse la \( F_j \) debe de ser la de menor media.

Saludos.