Autor Tema: Lanzamiento de dado y extracción de bola

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06 Septiembre, 2021, 11:32 am
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ivangranados

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El enunciado dice así:

Los jugadores A y B lanzan un dado cada uno: si el dado de A marca un valor mayor o
igual que el de B, comienza a jugar A; en caso contrario, comienza B. El juego consiste en sacar una
bola de una urna que contiene una bola roja, una verde y una negra.
Si comienza el jugador A y la bola es roja, gana el jugador A. Si la bola no es roja, se devuelve a la urna
y saca una bola el jugador B, que gana si la bola es verde o negra; en caso contrario, gana A.
Si empieza el jugador B, y la bola es roja o verde, gana el jugador B; en caso contrario, gana A.
Se pide calcular las siguientes probabilidades, razonando la respuesta:
a) La probabilidad de que el jugador A inicie el juego. ¿Y de que lo inicie el jugador B?
b) La probabilidad de que el jugador A gane el juego. ¿Y de qué lo gane el jugador B?
c) Si el juego lo ha ganado el jugador B ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya iniciado?

Mi intento de resolución:
\( a) \) Considero las 36 posibles combinaciones del lanzamiento de dado dónde el empate le vale a A para comenzar con lo que \( P(A comienza)=\displaystyle\frac{casos favorables}{casos posibles}=\displaystyle\frac{21}{36} \)
Por lo que \( P(B comienza)=\displaystyle\frac{15}{21} \)

\( b) \)
La posibilidad de que B gane se dará sumando los casos en que B gane habiendo comenzado y B gane cuando empieza A
\( P(ganaB)=\displaystyle\frac{5}{12}*\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{7}{12}*\displaystyle\frac{2}{3}*\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{29}{54} \)
\( P(gana A)=1-\displaystyle\frac{29}{54} \) (No me había salido directamente y lo he hecho por complementario)

\( c) \) Entiendo que se trata de una distribución condicionada a que gane B:
\( P(comenzar B/gana B)=\displaystyle\frac{5/12}{29/54}=\displaystyle\frac{45}{58} \)

Agradecería cualquier comentario / aclaración sobre el desarrollo y resolución. Un saludo

06 Septiembre, 2021, 11:48 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

El enunciado dice así:

Los jugadores A y B lanzan un dado cada uno: si el dado de A marca un valor mayor o
igual que el de B, comienza a jugar A; en caso contrario, comienza B. El juego consiste en sacar una
bola de una urna que contiene una bola roja, una verde y una negra.
Si comienza el jugador A y la bola es roja, gana el jugador A. Si la bola no es roja, se devuelve a la urna
y saca una bola el jugador B, que gana si la bola es verde o negra; en caso contrario, gana A.
Si empieza el jugador B, y la bola es roja o verde, gana el jugador B; en caso contrario, gana A.
Se pide calcular las siguientes probabilidades, razonando la respuesta:
a) La probabilidad de que el jugador A inicie el juego. ¿Y de que lo inicie el jugador B?
b) La probabilidad de que el jugador A gane el juego. ¿Y de qué lo gane el jugador B?
c) Si el juego lo ha ganado el jugador B ¿Cuál es la probabilidad de que lo haya iniciado?

Mi intento de resolución:
\( a) \) Considero las 36 posibles combinaciones del lanzamiento de dado dónde el empate le vale a A para comenzar con lo que \( P(A comienza)=\displaystyle\frac{casos favorables}{casos posibles}=\displaystyle\frac{21}{36} \)
Por lo que \( P(B comienza)=\displaystyle\frac{15}{21} \)

Bien.

Citar
\( b) \)
La posibilidad de que B gane se dará sumando los casos en que B gane habiendo comenzado y B gane cuando empieza A
\( P(ganaB)=\displaystyle\frac{5}{12}*\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{7}{12}*\displaystyle\frac{2}{3}*\displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{29}{54} \)
\( P(gana A)=1-\displaystyle\frac{29}{54} \) (No me había salido directamente y lo he hecho por complementario)

Bien. Directamente:

\( P(gana A)=\dfrac{7}{12}\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{1}{3} \)

Si no entiendes el porqué de esos términos pregunta.

Citar
\( c) \) Entiendo que se trata de una distribución condicionada a que gane B:
\( P(comenzar B/gana B)=\displaystyle\frac{5/12}{29/54}=\displaystyle\frac{45}{58} \)

Ojo. Es:

\( P(\textsf{comienza }B|\textsf{gana }B)=\displaystyle\frac{P(\textsf{comienza }B\cap \textsf{gana }B)}{\textsf{gana }B} \)

donde:

\( P(\textsf{comienza }B\cap \textsf{gana }B)=P(\textsf{gana }B|\textsf{comienza }B)\cdot P(\textsf{comienza }B)=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{5}{12}. \)

Saludos.

09 Septiembre, 2021, 10:38 am
Respuesta #2

ivangranados

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Muchas gracias Luis. Ya lo he entendido y h subsanado el error de la probabilidad condicionada del último apartado. Un saludo