Autor Tema: sigma álgebra de Borel

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04 Septiembre, 2021, 11:56 pm
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KeilaA

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Hola me ayudan con este ejercicio?
Una persona llega a la parada del colectivo, diariamente, entre las 7 y las 8. Un elemento \( x \) en el espacio muestral indica la posibilidad
que la persona llegue a la parada a la hora \( x \). Una representación alternativa podría ser \( \Omega = [0, 1] \). Un elemento \( x  \) en esta representación indicara la fracción de hora pasada las 7 a la cual llego el individuo a la parada.
Si suponemos que la persona tiene la probabilidad de llegar en un tiempo \( x \in I, \) donde \( I \subset \Omega \) es un intervalo con extremos \( x_i \),  \( x_s \). Esta información permitirá estimar la probabilidad que la persona tenga que esperar una fracción de hora que varía entre \( 1 − x_s \) y \( 1 − x_i \). Luego se puede considerar como familia de eventos \( \mathcal{F}_1 \) a la \( \sigma - \)álgebra generada por \( \mathcal{C}_1= \{ I \, :\, I \subset \Omega \;es \; un \; intervalo\}  \).
Probar que la \( \sigma - \)álgebra \( \mathcal{F}_1 \) coincide con la de Borel en \( [0, 1] \)

05 Septiembre, 2021, 09:46 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Luego se puede considerar como familia de eventos \( \mathcal{F}_1 \) a la \( \sigma - \)álgebra generada por \( \mathcal{C}_1= \{ I \, :\, I \subset \Omega \;es \; un \; intervalo\}  \).
Probar que la \( \sigma - \)álgebra \( \mathcal{F}_1 \) coincide con la de Borel en \( [0, 1] \)

Fíjate que la \( \sigma  \)-álgebra de Borel se genera con todos los conjuntos abiertos en \( [0,1] \). Ahora bien, un conjunto abierto en \( [0,1] \) es la unión contable de intervalos abiertos (eso se sigue del hecho de que los intervalos abiertos con extremos racionales son una base topológica, y por tanto la unión arbitraria de intervalos abiertos se puede escribir como unión contable de intervalos abiertos), de ahí se sigue fácilmente que si \( \mathcal{T} \) es la topología usual en \( [0,1] \) y \( \mathcal{C}_2:=\{(a,b): a,b\in[0,1]\text{  con } a<b\} \) entonces \( \sigma (\mathcal{C}_2)=\sigma (\mathcal{T}) \).

Como \( \mathcal{C}_2\subset \mathcal{C}_1 \) entonces la demostración se reduce a demostrar que

\( \displaystyle{
\mathcal{C}_2\subset \sigma (\mathcal{C}_1)\quad \text{ y }\quad \mathcal{C}_1 \subset \sigma (\mathcal{C}_2)
} \)

Espero que con eso puedas finalizar el ejercicio.