Autor Tema: Distribución normal multivariante

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04 Septiembre, 2021, 01:44 pm
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mg

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Hola,

Para un vector aleatorio \( Z=(Z_1,Z_2,...,Z_n) \) donde cada componente sigue una distribución normal en \( (0,1) \) y además son independientes entre sí que la función de densidad
\( f_Z(z)=\displaystyle\frac{1}{(\sqrt[ ]{2\pi})^n}exp(-\displaystyle\frac{1}{2}z'z) \).Donde \( z\in{\mathbb{R}^n} \).

Ahora bien, consideramos el vector aleatorio \( X=\mu+AZ \) donde \( \mu\in{\mathbb{R}^n} \) y \( A \) una matriz de \( n\times{n} \) constantes. El problema es que quiero hallar la función de densidad de X. Para ello primero observo que \( Z=A^{-1}(X-\mu) \). Entonces sustituyendo en la expresión de la función en la variable Z tengo que :

\( f_X(x)=\displaystyle\frac{1}{(\sqrt[ ]{2\pi})^n}exp(-\displaystyle\frac{1}{2}(x-\mu)A^{-1}A(x-\mu) \). Sin embargo en los apuntes aparece esto mismo pero multiplicado por \( \displaystyle\frac{1}{\left |{A}\right |} \). No sé exactamente a que se debe, sospecho que es por el teorema del cambio de variable, pero en tal caso la función a la que lo aplica debe ser (a menos que esté muy equivocado) \( g(Z)=A^{-1}(X-\mu) \), y no me salen las  cuentas, además que no se como tratar las componentes de la función g.

En resumen agradecería que me explicaran de donde sale ese \( \displaystyle\frac{1}{\left |{A}\right |} \).

Un saludo.


04 Septiembre, 2021, 04:04 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Es el teorema de cambio de variable, es decir, si \( \varphi:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n  \) es un difeomorfismo, entonces

\( \displaystyle{
\int_{A}f(v)\mathop{}\!d v=\int_{\varphi ^{-1}(A)}(f\circ \varphi )(w)|\det \partial \varphi (w)|dw
} \)

Tomando \( f=f_Z \) y \( \varphi (w)=A^{-1}(w-\mu) \) tienes que \( |\det \partial \varphi (w)|=|\det A^{-1}|=\frac1{|\det A|} \). Además el integrando te debe quedar

\( \displaystyle{
(f_Z\circ \varphi )(w)=\frac1{(2\pi)^{n/2}}\exp\left(-\frac1{2}(A^{-1}(w-\mu))^\top A^{-1}(w-\mu)\right)=\frac1{(2\pi)^{n/2}}\exp\left(-\frac1{2}\|A^{-1}(w-\mu)\|_2^2\right)
} \)

Nota: hay que asumir que \( A \) es invertible, ya que

\( \displaystyle{
z\in \mathbb{R}^n\implies Az\in A\mathbb{R}^n \implies x\in (A\mathbb{R}^n-\mu)
} \)

Es decir: si \( A \) no fuese invertible la medida inducida por \( X \) en \( \mathbb{R}^n \) se concentraría en el subespacio afín \( V:=A\mathbb{R}^n-\mu \) que tendría dimensionalidad menor a \( n \), y eso no se puede expresar con una función de densidad, es decir, \( X \) no tendría función de densidad ya que la medida de Lebesgue de \( V \) sería cero.