Autor Tema: Hallar los parámetros de la base B

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03 Septiembre, 2021, 11:56 pm
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nktclau

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Hola FORO, necesito por favir de vuestra gran ayuda y conocimiento, con el siguiente ejercicio.

Sea \( E=\left\{{(1,0),(0,1)}\right\} \) y \( B=\left\{{(1,a),(1,b)}\right\} \) dos bases de \( \mathbb{R}^2 \) con \( a \)y \( b \) parámetros.
Asuma que hay una transformación lineal \( f \), y la matriz que representa a \( f \) con respecto a la base \( E \) es  \( A=\begin{pmatrix}{2}&{-1}\\{-1}&{2}\end{pmatrix} \), y la matriz que representa a \( f \) con respecto a la base \( B \) es \( A'=\begin{pmatrix}{3}&{0}\\{0}&{2}\end{pmatrix} \)

He pensado lo siguiente, pero debe estar mal pues llego a un absurdo.

Como conozco \( A=M_{EE}f=M(f)=\begin{pmatrix}{2}&{-1}\\{-1}&{2}\end{pmatrix} \)

Puedo asegurar que \( f(1,0)=(2,-1) \) y que \( f(0,1)=(-1,2) \)

Análogamente conozco la matriz \( A'=M_{BB}(f) \) por lo tanto \( (f(1,a))_B=(3,0) \) y \( (f(1,b))_B=(0,2) \)

Pero si conozco \( (f(1,a))_B=(3,0) \) entonces \( f(1,a)=3(1,a)=(3,3a) \) de la misma forma

Si conozco \( (f(1,b))_B=(0,2) \) entonces \( f(1,b)=2(1,b)=(2,2b) \)

Ahora busco \( f(1,a) \) y \( f(1,b) \), esto usando el producto no coloco base pues están en base canónica.

\( \begin{pmatrix}{2}&{-1}\\{-1}&{2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{1}\\{a}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2-a}\\-1+2a\end{pmatrix}=f(1,a) \)

\( \begin{pmatrix}{2}&{-1}\\{-1}&{2}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}{1}\\{b}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{2-b}\\-1+2b\end{pmatrix}=f(1,b) \)

Por  lo que  \( f(1,a)=(3,3a) \) y \( f(1,a)=(2-a , -1+2a) \) y \( f(1,b)=(2,2b) \) y \( f(1,b)=(2-b , -1+2b) \)

\( \begin{cases}{3=2-a}\\ 3a=-1+2a\end{cases}\Longrightarrow{a=-1} \) y \( \begin{cases}{2=2-b}\\ 2b=-1+2b\end{cases}\Longrightarrow{0=-1} \) es un absurdo.

Gracias
Saludos





04 Septiembre, 2021, 12:31 am
Respuesta #1

delmar

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Hola nktclau

Esta bien lo que has hecho. En todo caso la matriz A' tendría como diagonal los autovalores de f y esos son 3 y 1.

Saludos

Nota : El proceso que has hecho es correcto

04 Septiembre, 2021, 02:15 am
Respuesta #2

nktclau

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Hola delmar Amigo mio!  ;) GRACIAS!!!! por responder!!  ;) ;) ;) ;) ;)
Nota : El proceso que has hecho es correcto

me deja tranquila entonces que tan solo es un error de tipeo.  :)

Saludos y buen fin de semana!