Autor Tema: Necesidad de demostrar para el conjunto vacío

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03 Septiembre, 2021, 09:42 pm
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PedroGzlez

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Hola:
He estado trabajando la teoría de conjuntos últimamente y me ha surgido la siguiente duda: ¿Hace falta probar esto para el conjunto vacío? Queremos probar que si \( A\cap B=A \) entonces \( A\subseteq B \). Esto se puede hacer diciendo que si \( a\in A \) entonces \( a\in A\cap B \), y por ello \( a\in B \). Por consiguiente, \( A\subseteq B \). ¿Al decir que si \( a\in A \) estoy rompiendo la prueba para el conjunto vacío? (O al decir \( a\in B \)) Sé que la demostración para \( A=\emptyset \) o \( B=\emptyset \) es prácticamente trivial, pero no sé si debería añadirla en un examen para que la demostracion estuviera completa.
Saludos

03 Septiembre, 2021, 10:36 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

He estado trabajando la teoría de conjuntos últimamente y me ha surgido la siguiente duda: ¿Hace falta probar esto para el conjunto vacío? Queremos probar que si \( A\cap B=A \) entonces \( A\subseteq B \). Esto se puede hacer diciendo que si \( a\in A \) entonces \( a\in A\cap B \), y por ello \( a\in B \). Por consiguiente, \( A\subseteq B \). ¿Al decir que si \( a\in A \) estoy rompiendo la prueba para el conjunto vacío? (O al decir \( a\in B \)) Sé que la demostración para \( A=\emptyset \) o \( B=\emptyset \) es prácticamente trivial, pero no sé si debería añadirla en un examen para que la demostracion estuviera completa.

Para mayor claridad no estaría de más que escribieses el caso \( A=\emptyset \) de manera aparte. Es trivial porque \( \emptyset\subset B \) siempre es cierto independientemente de la premisa.

No obstante tal como lo has escrito, sin más, también es correcto. Para probar que \( X\subset Y \) es suficiente probar que para todo \( x\in X \) se cumple que \( x\in Y \). Es lo que tu demuestras. Si no hubiese ningún \( x\in X \) simplemente es que no tienes nada que demostrar.

Saludos.

03 Septiembre, 2021, 10:44 pm
Respuesta #2

PedroGzlez

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Es trivial porque \( \emptyset\subset B \) siempre es cierto independientemente de la premisa.
Y si \( B=\emptyset \), entonces \( A=\emptyset \) para que \( A\cap B =A \), y obviamente \( \emptyset\subseteq \emptyset \).

Muchas gracias, es lo que opinaba también.
Un saludo

03 Septiembre, 2021, 10:50 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Es trivial porque \( \emptyset\subset B \) siempre es cierto independientemente de la premisa.
Y si \( B=\emptyset \), entonces \( A=\emptyset \) para que \( A\cap B =A \), y obviamente \( \emptyset\subseteq \emptyset \).

Pero el caso \( B=\emptyset \) si que no hace falta ni mencionarlo; no hay nada de excepcional en él.

Saludos.

03 Septiembre, 2021, 10:56 pm
Respuesta #4

PedroGzlez

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03 Septiembre, 2021, 11:20 pm
Respuesta #5

manooooh

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Hola

Sólo reafirmar lo que dice Luis, que tu demostración es correcta, recordando que cuando uno pone "Parto de \( x\in A \) y trato de demostrar que \( x\in B \)" hay un cuantificador que no se pone pero se sabe que está ahí, el universal. Es decir uno demuestra que \( \forall x\,x\in A\to x\in B \), lo que obviamente es verdadero si el antecedente es falso si por ejemplo \( A=\emptyset \). Así que con tu prueba ya estás incluyendo al vacío.

Saludos

04 Septiembre, 2021, 10:38 am
Respuesta #6

feriva

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Sé que la demostración para \( A=\emptyset \) o \( B=\emptyset \) es prácticamente trivial, pero no sé si debería añadirla en un examen para que la demostracion estuviera completa.

Quizá, mejor, podrías considerar estos casos para analizarlo más en general. Si \( A=B \), como todo conjunto está contenido en sí mismo, pues \( A\subseteq B
  \); aquí no hay problema con el “pertenece” si fuera el vacío, pues \( \emptyset\subseteq\emptyset
  \). No hay que mencionar el vacío.

En el otro caso, si \( A\neq B
  \) y \( A\cap B=A
  \), lo único que ocurre es que B no puede ser vacío (sí podría serlo A) pero se sigue cumpliendo \( A\subseteq B
  \).

Saludos.