Autor Tema: Problema de estimadores

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

02 Septiembre, 2021, 09:40 am
Leído 192 veces

ivangranados

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 64
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
El enunciado dice así:

Se realiza el experimento de lanzar una moneda tres veces y registrar el número de caras
obtenidas. Al repetir 80 veces el experimento se ha obtenido 7 veces ninguna cara, 24 veces una cara, 35
veces dos caras y 14 veces tres caras. Si \( p \) es “la probabilidad de obtener una cara al lanzar la moneda”.

a) Obtenga el estimador de p por el método de los momentos.
b) ¿Es insesgado el estimador obtenido en el apartado anterior?
c) Calcule la varianza del estimador obtenido en el apartado (a).
d) Plantee y resuelva el contraste adecuado para estudiar si la moneda está equilibrada.
(Nota: para un valor 𝛼 = 0.05, el valor crítico necesario de la distribución del estadístico es 7,81)

A decir verdad me despista la manera en la que está redactado este ejercicio. Según define la variable \( X \) entiendo que es una binomial ya que o se obtiene 1 cara o no. Dicotimía con sólo dos posibles opciones.
Con lo cual tengo que \( P(X=1)=24/80=0,3 \) de la muestra
Para el poblacional tengo que la posibilidad de que el número de caras sea 1 es de 3/8.

Claramente veo que es sesgado pero no sé si estoy yendo en la dirección correcta.

Alguna pista para poder avanzar en la resolución? He revisado la teoría y sé que tengo que igualar el momento muestral con el poblacional pero no he sabido plasmarlo. Saludos y gracias de antemano

02 Septiembre, 2021, 10:23 am
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,677
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Un experimento individual consiste en lanzar una moneda tres veces y contar el número de caras, que puede ser \[ 0,1,2 \] o \[ 3 \]. Por tanto, la variable aleatoria \[ X \] que nos interesa sigue una distribución binomial \[ B(3,p) \] (donde \[ p \] es la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda).

Ahora por ejemplo, para el a) debes igualar el momento poblacional con el muestral (de orden uno en este caso, pues solo hay un parámetro a estimar), es decir, \[ E(X)=\overline{X} \]. Sabiendo la esperanza de una binomial puedes obtener fácilmente el estimador \[ \hat{p} \] por el método de los momentos. Para obtener un valor numérico, solamente tienes que calcular \[ \overline{x} \] con los valores que te dan y sustituir.

Ten en cuenta por eso que para los apartados posteriores (si es insesgado y calcular la varianza) deberás trabajar con el estimador y no con la estimación. Es decir, deberás considerar el estimador en función de \[ \overline{X} \], considerando la media muestral \[ \overline{X} \] como variable aleatoria, y no el valor numérico que obtienes al sustituir los datos que te dan.

Intenta avanzar con estas indicaciones a ver si te aclaras. Si te quedas encallado, o si quieres comprobar los resultados que obtienes, vuelve a preguntar.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

02 Septiembre, 2021, 11:21 am
Respuesta #2

ivangranados

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 64
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias por el empujón Geómetracat. Voy a analizarlo bien con la información que has aportado que estoy hecho un lío.


Un experimento individual consiste en lanzar una moneda tres veces y contar el número de caras, que puede ser \[ 0,1,2 \] o \[ 3 \]. Por tanto, la variable aleatoria \[ X \] que nos interesa sigue una distribución binomial \[ B(3,p) \] (donde \[ p \] es la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda).

Ahora por ejemplo, para el a) debes igualar el momento poblacional con el muestral (de orden uno en este caso, pues solo hay un parámetro a estimar), es decir, \[ E(X)=\overline{X} \]. Sabiendo la esperanza de una binomial puedes obtener fácilmente el estimador \[ \hat{p} \] por el método de los momentos. Para obtener un valor numérico, solamente tienes que calcular \[ \overline{x} \] con los valores que te dan y sustituir.

Ten en cuenta por eso que para los apartados posteriores (si es insesgado y calcular la varianza) deberás trabajar con el estimador y no con la estimación. Es decir, deberás considerar el estimador en función de \[ \overline{X} \], considerando la media muestral \[ \overline{X} \] como variable aleatoria, y no el valor numérico que obtienes al sustituir los datos que te dan.

Intenta avanzar con estas indicaciones a ver si te aclaras. Si te quedas encallado, o si quieres comprobar los resultados que obtienes, vuelve a preguntar.

03 Septiembre, 2021, 10:21 am
Respuesta #3

ivangranados

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 64
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Vale:
Éste es mi intento:

\( a) \)Para este caso con una distribución binomial la esperanza poblacional sería: \( E(X)=np=3p \)

Para la media muestral con los datos numéricos dados: \( a_1=\displaystyle\frac{0*7+1*24+2*35+3*14}{80} \)

Ahora igualando ambas obtengo que el estimador de p: \( \widehat{p}=\displaystyle\frac{136}{3*80}=0.57 \)

\( b) \) Para ver si es insesgado analizo su función de probabilidad:
\( P(X=0)=(1-p)^3 \)
\( P(X=1)=3p(1-p)^2 \)
\( P(X=2)=3p^2(1-p) \)
\( P(X=3)=p^3 \)

Aquí me he quedado estancado  :banghead:






03 Septiembre, 2021, 10:27 am
Respuesta #4

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,677
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Vale:
Éste es mi intento:

\( a) \)Para este caso con una distribución binomial la esperanza poblacional sería: \( E(X)=np=3p \)

Para la media muestral con los datos numéricos dados: \( a_1=\displaystyle\frac{0*7+1*24+2*35+3*14}{80} \)

Ahora igualando ambas obtengo que el estimador de p: \( \widehat{p}=\displaystyle\frac{136}{3*80}=0.57 \)
Perfecto.

Citar
\( b) \) Para ver si es insesgado analizo su función de probabilidad:
\( P(X=0)=(1-p)^3 \)
\( P(X=1)=3p(1-p)^2 \)
\( P(X=2)=3p^2(1-p) \)
\( P(X=3)=p^3 \)

Aquí me he quedado estancado  :banghead:
Como te decía antes, para ver la insesgadez hay que trabajar con el estimador, en función de la media muestral (y no con los valores sustituidos).
De a), el estimador es \[ \hat{p} = \frac{\overline{X}}{3} \].
Entonces, para ver que es insesgado calculamos su valor esperado: \[ E(\hat{p}) = \frac{E(\overline{X})}{3} = \frac{3p}{3} = p \] (donde he usado que \[ E(\overline{X}) = E(X)=3p \]), luego es insesgado.
El siguiente apartado de la varianza es del mismo estilo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Septiembre, 2021, 09:41 am
Respuesta #5

ivangranados

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 64
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias de nuevo. Me había liado mezclando la función de probabilidad que veo que no es necesaria para la resolución del problema

Para la varianza en el apartado c) análogamente al apartado b) tengo:

\( c) \) \( V(\hat{p})=\displaystyle\frac{V(\bar{X})}{n}=\displaystyle\frac{1}{n^2}V(X)=\displaystyle\frac{np(1-0)}{n^2}=p(1-p)/n \)

Sobre el apartado d) no tengo claro cómo proceder. Creo que debería hacer un contraste con chi cuadrada pero es intuición

06 Septiembre, 2021, 02:03 pm
Respuesta #6

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,677
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
La varianza no está bien. Teniendo en cuenta que \[ \hat{p} = \frac{\overline{X}}{3} \], tenemos que:
\[ V(\hat{p}) = \frac{V(\overline{X})}{9} = \frac{V(X)/n}{9} = \frac{3pq}{9n} = \frac{pq}{3n} \].

Sobre lo del contraste de hipótesis, el valor del estadístico que te dan me descoloca un poco, la verdad.
Lo que yo haría es constrastar \[ H_0:p=0,5 \] vs \[ H_1:p\neq 0,5 \]. Para hacer esto, usaría el teorema central del límite para decir que (aproximadamente) \[ X \sim N(\mu=3p,\sigma^2=\frac{pq}{3n}) \]. Luego bajo \[ H_0 \], tendríamos que \[ \frac{\hat{p}-0,5}{\sqrt{\frac{0,5\cdot 0,5}{3n}}} \sim N(0,1) \].
Pero si vas por esta vía, la región crítica es \[ \left| \frac{\hat{p}-0,5}{\sqrt{\frac{0,5\cdot 0,5}{3n}}} \right| > z_{0,025} \], y el valor crítico es \[ z_{0,025}=1,96 \] y no lo que te dan. Con lo cual imagino que están pensando en hacerlo de otra forma, pero ahora mismo no se me ocurre cómo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

06 Septiembre, 2021, 04:10 pm
Respuesta #7

ivangranados

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 64
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muy amable por la corrección en c)

Tendré en cuenta tu planteamiento para el apartado d). Tiene sentido lo que planteas.

El valor que dan corresponde a una chi cuadrada de 3 grados de libertad en las tablas y por eso también me ha hecho dudar. Seguiré dándole vueltas. Gracias y un saludo

09 Septiembre, 2021, 10:31 am
Respuesta #8

ivangranados

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 64
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
La varianza no está bien. Teniendo en cuenta que \[ \hat{p} = \frac{\overline{X}}{3} \], tenemos que:
\[ V(\hat{p}) = \frac{V(\overline{X})}{9} = \frac{V(X)/n}{9} = \frac{3pq}{9n} = \frac{pq}{3n} \].

Sobre lo del contraste de hipótesis, el valor del estadístico que te dan me descoloca un poco, la verdad.
Lo que yo haría es constrastar \[ H_0:p=0,5 \] vs \[ H_1:p\neq 0,5 \]. Para hacer esto, usaría el teorema central del límite para decir que (aproximadamente) \[ X \sim N(\mu=3p,\sigma^2=\frac{pq}{3n}) \]. Luego bajo \[ H_0 \], tendríamos que \[ \frac{\hat{p}-0,5}{\sqrt{\frac{0,5\cdot 0,5}{3n}}} \sim N(0,1) \].
Pero si vas por esta vía, la región crítica es \[ \left| \frac{\hat{p}-0,5}{\sqrt{\frac{0,5\cdot 0,5}{3n}}} \right| > z_{0,025} \], y el valor crítico es \[ z_{0,025}=1,96 \] y no lo que te dan. Con lo cual imagino que están pensando en hacerlo de otra forma, pero ahora mismo no se me ocurre cómo.


Después de darle muchas vueltas al apartado d) creo que se refiere a un contraste de bondad donde para ver si la moneda está equilibrada deberá seguir una binomial para este nivel de significación dado.
Partiendo de la binomial \( B(p,3) \) planteo el siguiente contraste:
\( H_0: \) el numero de caras tiene distribución binomial
\( H_1: \) el número de caras no tiene distribución binomial

\( x_0^2= \)\( \displaystyle\sum_{i=1}^4{\displaystyle\frac{(o_i-e_i)^2}{e_i}} \) donde \( o_i \) son las frecuencias observadas en la muestra y \( e_i \) son las frecuencias esperadas que debo calcular a través de la función de distribución para \( \hat{p} \) calculada anteriormente.
\( P(X=0/\hat{p}=0,57)=p^0q^3=0,08 \)
\( P(X=1)/\hat{p})=3pq^2=0,316 \)
\( P(X=2/\hat{p})=3p^2q=0,419 \)
\( P(X=3/\hat{p})=p^3=0,185 \)

\( n*p_i \) me dará las frecuencias esperadas para cada valor:
\( 0,08*80=6,48 \)
\( 0,316*80=25,28 \)
\( 0,419*80=33,52 \)
\( 0,185*80=14,8 \)

Aplicando la fórmula:

\( x_0^2= \)\( \displaystyle\sum_{i=1}^4{\displaystyle\frac{(o_i-e_i)^2}{e_i}} \) \( =\displaystyle\frac{(7-6,48)^2}{6,48}+\displaystyle\frac{(24-25,28)^2}{25,28}+\displaystyle\frac{(35-33,52)^2}{33,52}+\displaystyle\frac{(14-14,8)^2}{14,8}=0,215 \)

Como \( 0,215<7,81 \) que es el valor crítico de las tablas de chi cuadrada para un \( \alpha=0,05 \) para \( k-1=4-1=3 \) grados de libertad concluyo que no puedo descartar la hipótesis nula \( H_0 \) con lo cual la moneda está equilibrada



10 Septiembre, 2021, 08:30 am
Respuesta #9

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,677
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Después de darle muchas vueltas al apartado d) creo que se refiere a un contraste de bondad donde para ver si la moneda está equilibrada deberá seguir una binomial para este nivel de significación dado.
Partiendo de la binomial \( B(p,3) \) planteo el siguiente contraste:
\( H_0: \) el numero de caras tiene distribución binomial
\( H_1: \) el número de caras no tiene distribución binomial

Ahh pues tienes toda la razón, creo que esperan que hagas un contraste chi cuadrado de bondad de ajuste. Lo que pasa es que para mirar que la moneda está equilibrada no tienes que contrastar si la distribución es binomial (a secas), sino si sigue una \[ B(3, 0.5) \].

Fíjate que si haces solo el contraste de binomial, como estás estimando un parámetro (la \[ p \]) te baja un grado de libertad (los grados de libertad en un contraste chi cuadrado de bondad de ajuste son: nº clases - nº parámetros estimados - 1), de manera que al final tendrías que usar una distribución \[ \chi_2 \].
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)