Autor Tema: Demostración con subespacios invariantes.

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01 Septiembre, 2021, 08:26 pm
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franma

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Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) una transformación lineal tal que los subespacios:
\( W_1=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:x+2y−z= 0\} \)
\( W_2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z= 0\} \)
\( W_3=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y−2z= 0\} \)
son invariantes bajo \( T \).
a)  Probar que \( T \) es diagonalizable.
b)  Sabiendo que \( 2T−T^2=Id \) en \( W_1 \) y \( T= 2Id \) en  \( W_2\cap{}W_3 \), hallar los valores propios de \( T \).

La primera parte la pude probar utilizando el hecho de que la interseccion de subespacios invariantes es un subespacio invariante y que los vectores no nulos de subespacios invariantes de dimension 1 son vectores propios.

El apartado (b) no lo entiendo. Note que se puede factorizar \( 2T−T^2=Id \) como \( -(T-Id)^2=0 \) pero no se como utilizar esta informacion que me dan.

¿Alguna idea?

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

01 Septiembre, 2021, 09:01 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) una transformación lineal tal que los subespacios:
\( W_1=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:x+2y−z= 0\} \)
\( W_2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z= 0\} \)
\( W_3=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y−2z= 0\} \)
son invariantes bajo \( T \).
a)  Probar que \( T \) es diagonalizable.
b)  Sabiendo que \( 2T−T^2=Id \) en \( W_1 \) y \( T= 2Id \) en  \( W_2\cap{}W_3 \), hallar los valores propios de \( T \).

La primera parte la pude probar utilizando el hecho de que la interseccion de subespacios invariantes es un subespacio invariante y que los vectores no nulos de subespacios invariantes de dimension 1 son vectores propios.

El apartado (b) no lo entiendo. Note que se puede factorizar \( 2T−T^2=Id \) como \( -(T-Id)^2=0 \) pero no se como utilizar esta informacion que me dan.

¿Alguna idea?

Saludos,
Franco.


Si tienes una función lineal nula, es decir que \( A=0 \), eso significa que \( Ax=0 \) para todo \( x \). En tu caso si defines \( S:=T-I \) te están diciendo que \( S^2x=S(Sx)=0 \) para todo \( x \), a partir de ahí tienes dos casos que investigar, o bien \( y:=Sx\neq 0 \) o \( Sx=0 \), eso te dice que necesariamente el cero es un valor propio de \( S \), etc. A ver si con eso se te ocurre cómo seguir.

01 Septiembre, 2021, 09:02 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

El enunciado dice lo siguiente:
Sea \( T:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) una transformación lineal tal que los subespacios:
\( W_1=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3:x+2y−z= 0\} \)
\( W_2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+z= 0\} \)
\( W_3=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y−2z= 0\} \)
son invariantes bajo \( T \).
a)  Probar que \( T \) es diagonalizable.
b)  Sabiendo que \( 2T−T^2=Id \) en \( W_1 \) y \( T= 2Id \) en  \( W_2\cap{}W_3 \), hallar los valores propios de \( T \).

La primera parte la pude probar utilizando el hecho de que la interseccion de subespacios invariantes es un subespacio invariante y que los vectores no nulos de subespacios invariantes de dimension 1 son vectores propios.

El apartado (b) no lo entiendo. Note que se puede factorizar \( 2T−T^2=Id \) como \( -(T-Id)^2=0 \) pero no se como utilizar esta informacion que me dan.

¿Alguna idea?

Si \( 2T−T^2=Id \) en \( W_1 \) y \(  u\in W_1 \) es un autovector asociado a \( \lambda \) entonces:

\( 2Tu-T^2u=Idu\quad \Rightarrow{}\quad 2\lambda u-\lambda^2 u=u\quad \Rightarrow{}\quad  2\lambda-\lambda^2=1 \)

¿Ahora?.

Saludos.

01 Septiembre, 2021, 09:36 pm
Respuesta #3

franma

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Buenas Luis, Masacroso,

Si \( 2T−T^2=Id \) en \( W_1 \) y \(  u\in W_1 \) es un autovector asociado a \( \lambda \) entonces:

\( 2Tu-T^2u=Idu\quad \Rightarrow{}\quad 2\lambda u-\lambda^2 u=u\quad \Rightarrow{}\quad  2\lambda-\lambda^2=1 \)

¿Ahora?.

Saludos.

Continuando:
\( 2\lambda-\lambda^2=1 \)
\( -(\lambda-1)^2=0 \) de donde \( \lambda=1 \) raíz doble.

Ahora haciendo un razonamiento análogo para el otro dato:
Si \( w \) es un vector propio asociado al valor propio \( \mu \) y \( T=2Id \) en \( W_2\cap{W_3} \)
\( T=2Id \Rightarrow T-2Id=0 \Rightarrow Tw-2w=0 \Rightarrow \mu w-2w=0 \Rightarrow \mu-2=0 \)
De donde obtenemos el otro valor propio.

Finalmente los valores propios buscados son \( \lambda_1=1 \) y \( \lambda_2=2 \)

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.