Autor Tema: mcm. mcd

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01 Septiembre, 2021, 10:35 am
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estelaalg

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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Me gustaría resolver estos ejercicios:

1) ¿Qué número es múltiplo de 11 y de 13 y sus cifras suman 2 unidades?

2) ¿Cuántos números entre 1000 y 2000, son a la vez capicúas y múltiplos de 11?

3) De un número sabemos que:
- Es mayor que 200 y menos que 250.
- Deja un resto de 2 al dividirlo por 7
- la suma de sus tres cifras es múltiplo de 12.
¿Qué numero es?

01 Septiembre, 2021, 11:05 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Me gustaría resolver estos ejercicios:

1) ¿Qué número es múltiplo de 11 y de 13 y sus cifras suman 2 unidades?

Si es múltiplo de \( 11 \) y de \( 13 \) tiene que ser múltiplo de \( 11\cdot 13=143 \).

Ve probando \( 143\cdot 2=286 \). Sus cifras suman NO suman dos unidades...
Ve probando \( 143\cdot 3=429 \). Sus cifras suman NO suman dos unidades...

Llegarás pronto a una posible solución. Incluso sabiendo que sus cifras suman dos unidades, el número solo puede acabar en cero o en uno. Por tanto sólo tienes que probar a multiplicar \( 143 \) por números que multiplicados por \( 3 \) acaben en \( 0 \) ó \( 1 \).

Spoiler
Usando aritmética modular es fácil ver que todos los números con esa propiedad son de la forma: \( 10^n+10^{n+3+6k} \) para \( n,k \) enteros no negativos.

Si quieres más detalles al respecto pregunta.
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2) ¿Cuántos números entre 1000 y 2000, son a la vez capicúas y múltiplos de 11?

Pues si es capicúa entre \( 1000 \) y \( 2000 \) son de la forma \( 1aa1 \). ¿Cuáles de ello son divisibles por \( 11 \)? ¿Conoces el criterio de divisibilidad por \( 11 \)?.

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3) De un número sabemos que:
- Es mayor que 200 y menos que 250.
- Deja un resto de 2 al dividirlo por 7
- la suma de sus tres cifras es múltiplo de 12.
¿Qué numero es?

Si deja un resto de \( 2 \) al dividir por \( 7 \) es de la forma \( 7k+2 \).

Para que esté entre \( 200 \) y \( 250 \) tienes \( 29\leq k\leq 35 \). Eso ya te deja unos pocos candidatos.

Saludos.