Autor Tema: Caso particular en la distribución t de Student

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31 Agosto, 2021, 09:50 am
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ivangranados

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El enunciado de una cuestión que me he encontrado dice así. No he encontrado nada relativo a este caso particular de la distribución de t de Student en ningún libro de texto ni en internet. Agradecería cualquier pista para tratar de entenderlo.

Sea \( X \) una variable aleatoria que sigue una distribución t de Student con n grados de libertad. Determine razonadamente, la distribución de la variable \( X \) elevada al cuadrado.

Partiendo de la distribución general de t de Student tengo que: \( X_n=\displaystyle\frac{Z}{\sqrt[ ]{V_n/n}} \) con \( Z \) siendo una normal (0,1) y \( V_n \) es una chi cuadrada.
Al elevar al cuadrado: \( X_n^2=\displaystyle\frac{Z^2}{V_n/n} \)
Ahora \( Z^2 \) representa una chi cuadrada que se anularía con \( V_n \) con lo que \( X_n^2=n \) con n representando los grados de libertad


31 Agosto, 2021, 10:02 am
Respuesta #1

geómetracat

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Es una F de Snedecor, concretamente la \[ F_{1,n} \]. Recuerda que la \[ F_{n,m} \] se define como \[ F_{n,m} = \frac{U_n/n}{V_m/m} \], donde \[ U_n \sim \chi^2_n, V_m \sim \chi^2_m \] y son independientes. En tu caso \[ Z^2 \] sigue una chi cuadrada con un grado de libertad (por definición de chi cuadrada).

Ahora \( Z^2 \) representa una chi cuadrada que se anularía con \( V_n \) con lo que \( X_n^2=n \) con n representando los grados de libertad
Cuidado porque no puedes cancelar variables aleatorias de esa forma. Para empezar, aquí \[ Z^2 \] y \[ V_n \] siguen una chi cuadrado con grados de libertad distintos así que no pueden ser iguales. Pero aunque ambas tuvieran la misma distribución, tampoco las puedes cancelar a no ser que sean la misma variable aleatoria.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

31 Agosto, 2021, 10:15 am
Respuesta #2

ivangranados

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Muchas gracias por la aclaración de conceptos. Revisaré la teoría ya que está visto que no me había quedado clara la distribución de chi cuadrada ni la cancelación de variables aleatorias


Es una F de Snedecor, concretamente la \[ F_{1,n} \]. Recuerda que la \[ F_{n,m} \] se define como \[ F_{n,m} = \frac{U_n/n}{V_m/m} \], donde \[ U_n \sim \chi^2_n, V_m \sim \chi^2_m \] y son independientes. En tu caso \[ Z^2 \] sigue una chi cuadrada con un grado de libertad (por definición de chi cuadrada).

Ahora \( Z^2 \) representa una chi cuadrada que se anularía con \( V_n \) con lo que \( X_n^2=n \) con n representando los grados de libertad
Cuidado porque no puedes cancelar variables aleatorias de esa forma. Para empezar, aquí \[ Z^2 \] y \[ V_n \] siguen una chi cuadrado con grados de libertad distintos así que no pueden ser iguales. Pero aunque ambas tuvieran la misma distribución, tampoco las puedes cancelar a no ser que sean la misma variable aleatoria.