Autor Tema: Recta que pasa por "a"

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28 Agosto, 2021, 08:23 pm
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nktclau

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Hola FORO!! espero todos esténmas que bien.

Necesito de vuestra ayuda por favor con el siguiente ejercicio.


Proyecte el vector \( \vec{b} \) sobre la recta que pasa por \( \vec{a} \), es decir, encuentre el vector de proyección \( \vec{p} \). Indique el error de proyección  \( \vec{e}=\vec{b}-\vec{p} \) y verifique que sea perpendicular-ortogonal a los vectores \( \vec{b}=(2,2,0,1) \) y \( \vec{a}=(1,2,-1,0) \)

¿Cómo la recta que pasa por \( \vec{a} \)? Es decir estamos en el Espacio vectorial \( \mathbb{R}^4  \) entonces ¿puedo asegurar que el subespacio "recta que pasa por \( \vec{a} \)" tiene dimensión \( 3 \)?

Me podrían dar una manito en cuanto a como proceder no realizar. Me tiene confundida la duda planteada.

Gracias!  ;)

28 Agosto, 2021, 10:19 pm
Respuesta #1

martiniano

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Hola.

Proyecte el vector \( \vec{b} \) sobre la recta que pasa por \( \vec{a} \), es decir, encuentre el vector de proyección \( \vec{p} \). Indique el error de proyección  \( \vec{e}=\vec{b}-\vec{p} \) y verifique que sea perpendicular-ortogonal a los vectores \( \vec{b}=(2,2,0,1) \) y \( \vec{a}=(1,2,-1,0) \)

¿Cómo la recta que pasa por \( \vec{a} \)? Es decir estamos en el Espacio vectorial \( \mathbb{R}^4  \) entonces ¿puedo asegurar que el subespacio "recta que pasa por \( \vec{a} \)" tiene dimensión \( 3 \)?

Es un poco extraño que te hablen de rectas en espacios vectoriales ya que de eso se habla más bien en espacios afines. Una recta es una variedad afín de dimensión uno, sea cual sea la dimensión del espacio afín en el que se encuentre. A la variedad afín cuya dimensión es la del espacio afín menos uno se le llama hiperplano.

Sin duda se refieren a la proyección sobre el espacio engendrado por \( \vec{a}  \), que se puede definir como:

\[ \vec{p} =\displaystyle\frac{(\vec{a}\cdot{}\vec{b}) \vec{a} } {\vec{a} ^2} \].

¿Te suena?

También es extraño que te digan que verifiques que \[ \vec{p} - \vec{b}  \] es ortogonal a \[ \vec{b}  \], porque a \[ \vec{a}  \] sí lo será, pero a \[ \vec{b}  \] sólo en caso de que  \[ \vec{p} - \vec{b} =0 \], si es que se puede decir que el vector nulo sea ortogonal a otro...

Un saludo.

28 Agosto, 2021, 10:32 pm
Respuesta #2

delmar

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Hola nktclau


La recta que pasa por \( \vec{a} \) en realidad pasa por el elemento neutro (origen) y por \( \vec{a} \) es : \( \vec{r}(t)=t\vec{a}, \ t\in{R} \) y la proyección es \( p_{\vec{a}}\vec{b}=\displaystyle\frac{<\vec{a},\vec{b}>}{<\vec{a},\vec{a}>}\ \vec{a} \) y el vector \( \vec{e} \) es ortogonal solamente a \( \vec{a}
 \)

Saludos

29 Agosto, 2021, 10:22 pm
Respuesta #3

nktclau

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MUCHÍSIMAS GRACIAS! martiniano y delmar  ;) ;) ;)

Super claro, entendí perfectamente!  :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso:

Saludos