Autor Tema: Encontrar cota para valores propios con los circulos de Gershgorin.

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25 Agosto, 2021, 08:35 pm
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franma

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Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

Sea \( A=\begin{pmatrix}{1}&{-10^{-5}}&{2\cdot 10^{-5}}\\{4\cdot 10^{-5}}&{0,5}&{-3\cdot 10^{-5}}\\{-10^{-5}}&{3\cdot 10^{-5}}&{0,1}\end{pmatrix} \)

1. Sea \( S=\begin{pmatrix}{\alpha}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix} \) con \( \alpha \in \mathbb{R} \)
Hallar los círculos de Gerschgorin de la matriz \( S^{−1}AS \)

2. Hallar \( \alpha \) de modo que el radio \( r_1 \) del circulo con centro en \( (S^{−1}AS)_{1,1} \) sea tan pequeño como sea posible sin que este circulo se interseque con los otros dos círculos.

3. Localice el valor propio \( \lambda_1 \) de la matriz \( A \) en un circulo tan pequeño como sea posible.
(Observar que los valores propios de  \( A \) y \( S^{−1}AS \) son los mismos).

Realice lo siguiente:
Primero calcule el producto de las matrices:
\( S^{−1}AS=\begin{pmatrix}{1}&{\frac{-10^{-5}}{\alpha}}&{\frac{2\cdot 10^{-5}}{\alpha}}\\{\alpha \cdot 4\cdot 10^{-5}}&{0,5}&{-3\cdot 10^{-5}}\\{-\alpha \cdot 10^{-5}}&{3\cdot 10^{-5}}&{0,1}\end{pmatrix} \)

Luego sus circulos de Gershgorin son:
\( C_1=D(1,\frac{3\cdot 10^{-5}}{\alpha}) \)
\( C_2=D(0.5,10^{-5}\cdot(4\alpha +3)) \)
\( C_3=D(0.1,10^{-5}\cdot(\alpha+3)) \)

Donde \( D(a,r) \) es el disco de centro \( a \) y radio \( r \).

Intente pensar alguna funcion \( f(\alpha) \) que pudiese minimizar, y luego comprobar si para el minimo encontrado los circulos se cortaban o no. Pero no logre plantear nada.

¿Alguna idea para continuar?

Saludos,
Franco.

En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

25 Agosto, 2021, 11:49 pm
Respuesta #1

Masacroso

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El enunciado dice lo siguiente:

Sea \( A=\begin{pmatrix}{1}&{-10^{-5}}&{2\cdot 10^{-5}}\\{4\cdot 10^{-5}}&{0,5}&{-3\cdot 10^{-5}}\\{-10^{-5}}&{3\cdot 10^{-5}}&{0,1}\end{pmatrix} \)

1. Sea \( S=\begin{pmatrix}{\alpha}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix} \) con \( \alpha \in \mathbb{R} \)
Hallar los círculos de Gerschgorin de la matriz \( S^{−1}AS \)

2. Hallar \( \alpha \) de modo que el radio \( r_1 \) del circulo con centro en \( (S^{−1}AS)_{1,1} \) sea tan pequeño como sea posible sin que este circulo se interseque con los otros dos círculos.

3. Localice el valor propio \( \lambda_1 \) de la matriz \( A \) en un circulo tan pequeño como sea posible.
(Observar que los valores propios de  \( A \) y \( S^{−1}AS \) son los mismos).

Realice lo siguiente:
Primero calcule el producto de las matrices:
\( S^{−1}AS=\begin{pmatrix}{1}&{\frac{-10^{-5}}{\alpha}}&{\frac{2\cdot 10^{-5}}{\alpha}}\\{\alpha \cdot 4\cdot 10^{-5}}&{0,5}&{-3\cdot 10^{-5}}\\{-\alpha \cdot 10^{-5}}&{3\cdot 10^{-5}}&{0,1}\end{pmatrix} \)

Luego sus circulos de Gershgorin son:
\( C_1=D(1,\frac{3\cdot 10^{-5}}{\alpha}) \)
\( C_2=D(0.5,10^{-5}\cdot(4\alpha +3)) \)
\( C_3=D(0.1,10^{-5}\cdot(\alpha+3)) \)

Donde \( D(a,r) \) es el disco de centro \( a \) y radio \( r \).

Intente pensar alguna funcion \( f(\alpha) \) que pudiese minimizar, y luego comprobar si para el minimo encontrado los circulos se cortaban o no. Pero no logre plantear nada.

¿Alguna idea para continuar?

Saludos,
Franco.



Como el radio de \( C_1 \) disminuye conforme aumenta \( \alpha  \), y pasa al revés con los radios de \( C_2 \) y \( C_3 \), el mínimo de \( r_1 \) se encuentra maximizando \( \alpha  \) hasta que toque uno de los otros dos discos, es decir, cuando o bien \( 1-\frac{3}{\alpha }\cdot 10^{-5}=\frac1{2}+(4\alpha +3)\cdot 10^{-5} \) o cuando \( 1-\frac{3}{\alpha }\cdot 10^{-5}=\frac1{10}+(\alpha +3)\cdot 10^{-5} \). De esos dos valores de \( \alpha  \) será el mayor que haga cumplir que al "rozar" \( C_1 \) uno de los otros discos entonces no intersecte al otro.

No sé si hay una manera más bonita o sistemática de plantear el problema, pero espero que se entienda la idea.

El punto 3, si no me equivoco, consistiría en transformar ese disco mínimo al sistema de coordenadas propio de \( A \), es decir, sería el menor disco que encierra el conjunto \( S (C_1) \).

26 Agosto, 2021, 12:35 am
Respuesta #2

franma

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Buenas Masacroso,

Siguiendo con tu idea:
\( 1-\frac{3}{\alpha }\cdot 10^{-5}=\frac1{2}+(4\alpha +3)\cdot 10^{-5} \)
Obtengo:
\( \alpha_1\approx{12499.2} \)
\( \alpha_2\approx{0.00006} \)

\( 1-\frac{3}{\alpha }\cdot 10^{-5}=\frac1{10}+(\alpha +3)\cdot 10^{-5} \)
Obtengo:
\( \alpha_3\approx{89996.9} \)
\( \alpha_4\approx{0.00003} \)

Se ve claro que \( \alpha_3 \) es el mayor de todos, luego tomo ese porque me permite tener el menor radio.

¿La parte 3 no queda hecha ya? La observación dice que tienen los mismos valores propios (pues son semejantes). Luego ya tenemos a \( \lambda_1 \) en un circulo de radio mínimo. ¿O me estoy perdiendo de algo?
Agrego: Ademas podemos observar que los elementos de las diagonales son los mismos entonces los discos tendrán el mismo centro. Aun mas, al ser \( C_1 \) disjunto de los otros 2 discos, en \( C_1 \) tenemos exactamente un valor propio que es que buscamos: \( \lambda_1 \).

Saludos,
Franco.
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26 Agosto, 2021, 04:23 am
Respuesta #3

Masacroso

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Siguiendo con tu idea:
\( 1-\frac{3}{\alpha }\cdot 10^{-5}=\frac1{2}+(4\alpha +3)\cdot 10^{-5} \)
Obtengo:
\( \alpha_1\approx{12499.2} \)
\( \alpha_2\approx{0.00006} \)

\( 1-\frac{3}{\alpha }\cdot 10^{-5}=\frac1{10}+(\alpha +3)\cdot 10^{-5} \)
Obtengo:
\( \alpha_3\approx{89996.9} \)
\( \alpha_4\approx{0.00003} \)

Se ve claro que \( \alpha_3 \) es el mayor de todos, luego tomo ese porque me permite tener el menor radio.

No había caído en que cada ecuación da dos soluciones. En cada caso una de las soluciones no representa el problema planteado, ya que representa dos discos tangentes donde uno de ellos está contenido en el otro. También, una vez descartadas las dos soluciones no válidas por lo dicho antes, de las dos que queden hay que verificar si ambas son válidas, y en ese caso ver cuál es la mejor, o si sólo una de ellas es válida. Me explico: se puede dar el caso de que tengamos dos discos tangentes (sin que uno esté dentro de otro) pero que el tercer disco interseccione a \( C_1 \), lo que invalidaría esa solución.

Citar
¿La parte 3 no queda hecha ya? La observación dice que tienen los mismos valores propios (pues son semejantes). Luego ya tenemos a \( \lambda_1 \) en un circulo de radio mínimo. ¿O me estoy perdiendo de algo?
Agrego: Ademas podemos observar que los elementos de las diagonales son los mismos entonces los discos tendrán el mismo centro. Aun mas, al ser \( C_1 \) disjunto de los otros 2 discos, en \( C_1 \) tenemos exactamente un valor propio que es que buscamos: \( \lambda_1 \).

Saludos,
Franco.

Cierto, he interpretado mal esa parte del problema, creía que los discos de Gersgorin acotaban los vectores propios pero lo que hacen es acotar los valores propios, no recordaba bien la teoría. Creo que es lo que dices, mirando en wikipedia veo que si tenemos un disco disjunto entonces éste necesariamente contiene un valor propio:

https://en.wikipedia.org/wiki/Gershgorin_circle_theorem#Strengthening_of_the_theorem

26 Agosto, 2021, 03:01 pm
Respuesta #4

franma

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No había caído en que cada ecuación da dos soluciones. En cada caso una de las soluciones no representa el problema planteado, ya que representa dos discos tangentes donde uno de ellos está contenido en el otro. También, una vez descartadas las dos soluciones no válidas por lo dicho antes, de las dos que queden hay que verificar si ambas son válidas, y en ese caso ver cuál es la mejor, o si sólo una de ellas es válida. Me explico: se puede dar el caso de que tengamos dos discos tangentes (sin que uno esté dentro de otro) pero que el tercer disco interseccione a \( C_1 \), lo que invalidaría esa solución.

La verdad me apure con las conclusiones, ademas de que la manera en que lo resolví fue con igualdades.
Planteándolo como inecuaciones llego a un intervalo para cada condición, estos intervalos son los intervalos contenidos entre las raíces que encontré ayer.
1) \( 0.00006\leq{} \alpha\leq{12499.2} \)
2) \( 0.00003\leq{\alpha}\leq{}89996.9 \)

Si no me equivoco la cota mínima corresponde a que el circulo que queremos achicar se agrande y los otros 2 círculos se hagan mas pequeños. Luego la cota máxima es lo que buscamos (que es donde se achica el disco que queremos).

Entonces de aquí se ve que lo que dije ayer estaba mal, pues el valor \( 89996.6 \) no nos sirve. Debemos de tomar \( 12499.2 \) que cumple simultáneamente ambas condiciones.

De hecho ni siquiera podemos tomar ese valor ya que serian tangentes. :-\ Pero es lo que pide el ejercicio.

¿Te parece correcto?

Saludos,
Franco.

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26 Agosto, 2021, 09:57 pm
Respuesta #5

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No había caído en que cada ecuación da dos soluciones. En cada caso una de las soluciones no representa el problema planteado, ya que representa dos discos tangentes donde uno de ellos está contenido en el otro. También, una vez descartadas las dos soluciones no válidas por lo dicho antes, de las dos que queden hay que verificar si ambas son válidas, y en ese caso ver cuál es la mejor, o si sólo una de ellas es válida. Me explico: se puede dar el caso de que tengamos dos discos tangentes (sin que uno esté dentro de otro) pero que el tercer disco interseccione a \( C_1 \), lo que invalidaría esa solución.

La verdad me apure con las conclusiones, ademas de que la manera en que lo resolví fue con igualdades.
Planteándolo como inecuaciones llego a un intervalo para cada condición, estos intervalos son los intervalos contenidos entre las raíces que encontré ayer.
1) \( 0.00006\leq{} \alpha\leq{12499.2} \)
2) \( 0.00003\leq{\alpha}\leq{}89996.9 \)

Si no me equivoco la cota mínima corresponde a que el circulo que queremos achicar se agrande y los otros 2 círculos se hagan mas pequeños. Luego la cota máxima es lo que buscamos (que es donde se achica el disco que queremos).

Entonces de aquí se ve que lo que dije ayer estaba mal, pues el valor \( 89996.6 \) no nos sirve. Debemos de tomar \( 12499.2 \) que cumple simultáneamente ambas condiciones.

De hecho ni siquiera podemos tomar ese valor ya que serian tangentes. :-\ Pero es lo que pide el ejercicio.

¿Te parece correcto?

Saludos,
Franco.



Planteando bien las inecuaciones tenemos que debe maximizarse \( \alpha  \) tal que

\( \displaystyle{
1-\frac{3}{\alpha }c\geqslant \max\left\{\frac1{2}+(4\alpha +3)c, \frac1{10}+(\alpha +3)c\right\},\quad c:=10^{-5}
} \)

El amigo Wolfram me deja la solución

\( \displaystyle{
\alpha =\frac{1}{8}\left(49997+\sqrt{2499699961}\right)=12499,2
} \)

que es la misma que obtienes tú también. Cierto que los discos iban a ser tangentes en este escenario, pero tenemos que existe un intervalo \( (\alpha _0,\alpha _1) \) (con \( \alpha _1=12499,2 \)) tal que si \( \alpha \in (\alpha _0, \alpha _1) \) entonces \( \overline{\mathbb{B}}(1,3\alpha ^{-1} ) \) es disjunto de los otros dos discos, por tanto para cualquiera de esos \( \alpha  \) sabemos que \( \lambda _1\in \overline{\mathbb B}(1,3\alpha^{-1}) \), pero existe un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( 3\alpha_1 ^{-1}+1/n=3\alpha ^{-1}\Leftrightarrow \alpha \in (\alpha _0,\alpha _1) \) para todo \( n\geqslant N \). Entonces

\( \displaystyle{
{\color{red}{\lambda _1}}\in \bigcap_{n\geqslant N}\overline{\mathbb B}(1,3\alpha_1 ^{-1}+\frac1{n})= \overline{\mathbb B}(1,3\alpha ^{-1})
} \)

Por tanto la tangencia aquí no altera el resultado, podemos asegurar que el valor propio está en ese disco.

Corrección.

26 Agosto, 2021, 10:12 pm
Respuesta #6

franma

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Buenas Masacroso,

Planteando bien las inecuaciones tenemos que debe maximizarse \( \alpha  \) tal que

\( \displaystyle{
1-\frac{3}{\alpha }c\geqslant \max\left\{\frac1{2}+(4\alpha +3)c, \frac1{10}+(\alpha +3)c\right\},\quad c:=10^{-5}
} \)

El amigo Wolfram me deja la solución

\( \displaystyle{
\alpha =\frac{1}{8}\left(49997+\sqrt{2499699961}\right)=12499,2
} \)

que es la misma que obtienes tú también.

Hasta aquí vamos bien :). La verdad que salen unos números horribles al trabajar con esta matriz.

Cierto que los discos iban a ser tangentes en este escenario, pero tenemos que existe un intervalo \( (\alpha _0,\alpha _1) \) (con \( \alpha _1=12499,2 \)) tal que si \( \alpha \in (\alpha _0, \alpha _1) \) entonces \( \overline{\mathbb{B}}(1,3\alpha ^{-1} ) \) es disjunto de los otros dos discos, por tanto para cualquiera de esos \( \alpha  \) sabemos que \( \lambda _1\in \overline{\mathbb B}(1,3\alpha^{-1}) \), pero existe un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( 3\alpha_1 ^{-1}+1/n=3\alpha ^{-1}\Leftrightarrow \alpha \in (\alpha _0,\alpha _1) \) para todo \( n\geqslant N \). Entonces

\( \displaystyle{
\color{red}{}\alpha \in \bigcap_{n\geqslant N}\overline{\mathbb B}(1,3\alpha_1 ^{-1}+\frac1{n})= \overline{\mathbb B}(1,3\alpha ^{-1})
} \)

Por tanto la tangencia aquí no altera el resultado, podemos asegurar que el valor propio está en ese disco.

Esto lo entiendo parcialmente, me pierdo donde marque en rojo.

Muchas gracias por toda la ayuda hasta el momento.

Saludos,
Franco.
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26 Agosto, 2021, 10:51 pm
Respuesta #7

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Cierto que los discos iban a ser tangentes en este escenario, pero tenemos que existe un intervalo \( (\alpha _0,\alpha _1) \) (con \( \alpha _1=12499,2 \)) tal que si \( \alpha \in (\alpha _0, \alpha _1) \) entonces \( \overline{\mathbb{B}}(1,3\alpha ^{-1} ) \) es disjunto de los otros dos discos, por tanto para cualquiera de esos \( \alpha  \) sabemos que \( \lambda _1\in \overline{\mathbb B}(1,3\alpha^{-1}) \), pero existe un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( 3\alpha_1 ^{-1}+1/n=3\alpha ^{-1}\Leftrightarrow \alpha \in (\alpha _0,\alpha _1) \) para todo \( n\geqslant N \). Entonces

\( \displaystyle{
\color{red}{}\alpha \in \bigcap_{n\geqslant N}\overline{\mathbb B}(1,3\alpha_1 ^{-1}+\frac1{n})= \overline{\mathbb B}(1,3\alpha ^{-1})
} \)

Por tanto la tangencia aquí no altera el resultado, podemos asegurar que el valor propio está en ese disco.

Esto lo entiendo parcialmente, me pierdo donde marque en rojo.

Muchas gracias por toda la ayuda hasta el momento.

Saludos,
Franco.


Tienes que \( \frac{3}{\alpha _1}+\frac1{n}=\frac{3}{\alpha(n) }\Leftrightarrow \alpha(n) =\frac{3\alpha _1}{3+\alpha _1/n} \), por tanto la sucesión de \( \alpha (n) \) es estrictamente creciente y converge hacia \( \alpha _1 \), entonces para \( n \) suficientemente grande tenemos que \( \alpha (n)\in (\alpha _0,\alpha _1) \). El intervalo \( (\alpha _0,\alpha _1) \) existe siempre y cuando observemos que existe al menos un \( \alpha >0 \) tal que la desigualdad anterior se cumpla estrictamente, que significa que existe un valor de \( \alpha  \) para el cual el disco \( C_1 \) es disjunto de los otros. Necesariamente tal \( \alpha <\alpha _1 \) (que implica que \( C_1 \) es más grande del valor límite encontrado) así que tomando ese tal \( \alpha  \) como \( \alpha _0 \) ya tenemos tal intervalo.

Pero el ejercicio es ciertamente lioso, para corroborar que tal \( \alpha  \) existe podemos recurrir de nuevo a Wolfram o hacer las cuentas a mano. Con Wolfram si busco el intervalo solución de la anterior desigualdad, pero estricta, hallo que

\( \displaystyle{
1-\frac{3}{\alpha }c> \max\left\{\frac1{2}+(4\alpha +3)c, \frac1{10}+(\alpha +3)c\right\} \iff 0,0000600036 <\alpha < 12499,2
} \)

que es el intervalo que obtenías antes, así que podemos tomar \( \alpha _0=1 \). Espero ahora se entienda todo mejor.

Aclaración: en mi respuesta anterior había un error, ya corregido en rojo. Para aclarar, tenemos que existe un \( N\in \mathbb{N} \) tal que \( \lambda _1\in \overline{\mathbb B}(1,3/\alpha (n)) \) para todo \( n\geqslant N \), por tanto

\( \displaystyle{
\lambda _1\in \bigcap_{n\geqslant N}\overline{\Bbb B}\left(1,\frac{3}{\alpha (n)}\right) =\overline{\mathbb B}\left(1,\frac{3}{\alpha _1}\right)
} \)

26 Agosto, 2021, 11:26 pm
Respuesta #8

franma

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Gracias por la explicación con mas detalle, creo entender la idea general.
Siendo honesto no me gusto este ejercicio :(. Se toco muy por encima el teorema de Gershgorin y algunas de las aplicaciones son cosas tan tediosas como esta.

Nuevamente gracias por todo :).

Saludos,
Franco,
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