Autor Tema: Transformaciones Lineales

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25 Agosto, 2021, 02:39 am
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nktclau

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Buenas noches FORO! necesito, por favor, de vuestra gran ayuda con el siguiente tema.

Estoy leyendo un libro de Serge Lang, Introduction to Linear Algebra - Springer el link del texto es: https://www.springer.com/gp/book/9780387962054, el libro está en inglés, entiendo algunas cosas pero me pierdo con el concepto de lo que es column space.
La primera mención de este concepto aparece en la página 124, donde dice: "We define the column space of A to be the subspace generated by the columns", por lo que de acuerdo a lo que he visto en mi teoría,  creo yo se trata de la imagen de la transformación lineal, esto de acuerdo a lo que dice luego en la pagina 151, "As we had seen in studying the column space of A, we can express the columns of A in terms of the images of the unit vectors:".

Todo esto es porque después en un trabajo practico solicitan por ejemplo

The column space \( C(A) \) of a linear mapping \( \mathbb{R}^m\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) is de fined by \( C(A)=\left\{{y \in{\mathbb{R}^m}| \exists{x}\in{\mathbb{R}^n}} \text{ with } y=Ax\right\} \) Prove that \( C(A)  \)is a subspace of \( \mathbb{R}^n \).

No se como empezar este ejercicio :banghead: :banghead:

Otro ejercicio que utiliza este concepto es:
Let the function \( f:\mathbb{R}^4\rightarrow{\mathbb{R}^3} \) be defined by \( f(x)=Fx=\begin{bmatrix}x_1+2x_2+2x_3-x_4\\ x_1+2x_3-2x_4 \\ 2x_1+x_2+x_3-2x_4\end{bmatrix} \)
Notice that this defines \( F \) as a matrix. Find a basis and the dimension of the column space \( C(F) \) of \( F \) and the null space \( N(F) \) of \( F \)

Según entiendo en este punto: \( F(x)=\begin{bmatrix}1&2&2&-1 \\ 1&0&2&-2 \\ 2&1&1&-2\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\x_4\end{pmatrix} \)

Analizando el rango de la matriz de coeficientes encuentro que es \( 3 \) por lo tanto \( Dim(Img(f))=3 \) y que \( Dim(Nu(f))=4-3=1 \)

El subespacio imágen está generado por las columnas de la matriz. Por lo tanto \( Im(f)=\left<{(1,1,2); (2,0,1);(2,2,1);(-1,-2,-2)}\right> \) claramente los vectores no son LI. por lo que una base de \( B_{Im(f)}=\left\{{(1,1,2); (2,2,1);(-1,-2,-2)}\right\} \)

En cuanto al nucleo de la transformación es un vector \( v \in{\mathbb{R}^4} : f(v)=0 \) por lo que escalonando la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones homogeno tenemos que \( B_{Nu(f)}=\left\{{\left(1; -\displaystyle\frac{1}{2}; \displaystyle\frac{1}{2},1 \right)}\right\} \)

¿es correcto?

Por último
For the following questions, decide whether the vector \( u \) is in the column space of the matrix \( A \).
\( u=\begin{pmatrix}{0}\\{2}\\{2}\end{pmatrix} \) y \( A=\begin{bmatrix}0&3&2 \\ 2&0&-2 \\ 1&1&1\end{bmatrix} \)

En este ejercicio entiendo que debo hallar el subespacio imágen y caraterizarlo para ver si el vector en cuestion pertenece o no al subespacio generado imagen. ¿es así? de ser así se como proceder, pero obviamente tengo la duda.
MUCHAS GRACIAS!!
Saludos

25 Agosto, 2021, 02:47 am
Respuesta #1

Masacroso

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Buenas noches FORO! necesito, por favor, de vuestra gran ayuda con el siguiente tema.

Estoy leyendo un libro de Serge Lang, Introduction to Linear Algebra - Springer el link del texto es: https://www.springer.com/gp/book/9780387962054, el libro está en inglés, entiendo algunas cosas pero me pierdo con el concepto de lo que es column space.
La primera mención de este concepto aparece en la página 124, donde dice: "We define the column space of A to be the subspace generated by the columns", por lo que de acuerdo a lo que he visto en mi teoría,  creo yo se trata de la imagen de la transformación lineal, esto de acuerdo a lo que dice luego en la pagina 151, "As we had seen in studying the column space of A, we can express the columns of A in terms of the images of the unit vectors:".

Todo esto es porque después en un trabajo practico solicitan por ejemplo

The column space \( C(A) \) of a linear mapping \( \mathbb{R}^m\rightarrow{\mathbb{R}^n} \) is defined by \( C(A)=\left\{{y \in{\mathbb{R}^m}| \exists{x}\in{\mathbb{R}^n}} \text{ with } y=Ax\right\} \) Prove that \( C(A)  \)is a subspace of \( \mathbb{R}^n \).

No se como empezar este ejercicio :banghead: :banghead:

Otro ejercicio que utiliza este concepto es:
Let the function \( f:\mathbb{R}^4\rightarrow{\mathbb{R}^3} \) be defined by \( f(x)=Fx=\begin{bmatrix}x_1+2x_2+2x_3-x_4\\ x_1+2x_3-2x_4 \\ 2x_1+x_2+x_3-2x_4\end{bmatrix} \)
Notice that this defines \( F \) as a matrix. Find a basis and the dimension of the column space \( C(F) \) of \( F \) and the null space \( N(F) \) of \( F \)

Según entiendo en este punto: \( F(x)=\begin{bmatrix}1&2&2&-1 \\ 1&0&2&-2 \\ 2&1&1&-2\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\\x_4\end{pmatrix} \)

Analizando el rango de la matriz de coeficientes encuentro que es \( 3 \) por lo tanto \( Dim(Img(f))=3 \) y que \( Dim(Nu(f))=4-3=1 \)

El subespacio imágen está generado por las columnas de la matriz. Por lo tanto \( Im(f)=\left<{(1,1,2); (2,0,1);(2,2,1);(-1,-2,-2)}\right> \) claramente los vectores no son LI. por lo que una base de \( B_{Im(f)}=\left\{{(1,1,2); (2,2,1);(-1,-2,-2)}\right\} \)

En cuanto al nucleo de la transformación es un vector \( v \in{\mathbb{R}^4} : f(v)=0 \) por lo que escalonando la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones homogeno tenemos que \( B_{Nu(f)}=\left\{{\left(1; -\displaystyle\frac{1}{2}; \displaystyle\frac{1}{2},1 \right)}\right\} \)

¿es correcto?

Todo correcto.

Citar
Por último
For the following questions, decide whether the vector \( u \) is in the column space of the matrix \( A \).
\( u=\begin{pmatrix}{0}\\{2}\\{2}\end{pmatrix} \) y \( A=\begin{bmatrix}0&3&2 \\ 2&0&-2 \\ 1&1&1\end{bmatrix} \)

En este ejercicio entiendo que debo hallar el subespacio imágen y caraterizarlo para ver si el vector en cuestion pertenece o no al subespacio generado imagen. ¿es así? de ser así se como proceder, pero obviamente tengo la duda.
MUCHAS GRACIAS!!
Saludos

Sí, así es.

25 Agosto, 2021, 03:19 am
Respuesta #2

nktclau

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Hola Masacroso MUCHAS GRACIAS por responder.

Basada en esto intentare resolver el primero. Gracias!!!!! ;)
Saludos