Autor Tema: Cruce funciones de distribución

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01 Septiembre, 2021, 11:15 pm
Respuesta #10

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Creo que no es necesario graficar para ver que no siempre se puede encontrar combinaciones convexas. Por ejemplo: \( F(x_1)=0.25,H(x_1)=0.5,G(x_1)=0.67 \) y \( F(x_2)=0.80,H(x_1)=0.79,G(x_1)=0.75 \) ahí no existiría ese \( a, \) no?

Y para \( n \) variables, cómo sería las condiciones.

02 Septiembre, 2021, 11:34 am
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Creo que no es necesario graficar para ver que no siempre se puede encontrar combinaciones convexas. Por ejemplo: \( F(x_1)=0.25,H(x_1)=0.5,G(x_1)=0.67 \) y \( F(x_2)=0.80,H(x_1)=0.79,G(x_1)=0.75 \) ahí no existiría ese \( a, \) no?

Si, no existiría.

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Y para \( n \) variables, cómo sería las condiciones.

Tengo que pensarlo con más calma.

Saludos.

02 Septiembre, 2021, 01:54 pm
Respuesta #12

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1) la condición \( p\geq{}a\geq{}q, \) como \( a \in [0,1] \), creo que \( p,q \) pueden no caer en ese intervalo, cómo serían sus valores para que exista ese \( a. \) Creo que con \( q<1 \) basta, suponiendo que \( p>q \) (es como si faltara esta condición, pues \( q \) podría ser mayor a uno y también \( p \).

2) Para \( n \) variables, supongo que una condición necesaria es que \( H(x)\leq{}max\{F_1(x),F_2(x),...,F_n(x)\} \) para todo \( x. \)

Lo estoy pensando para cuatro variables \( F,G,H,Z \) supongamos que quiero hallar \( a_1,a_2,a_3 \) tal que \( a_1+a_2+a_3=1 \) siendo elementos positivos. Deberíamos resolver este sistema (por ejemplo para tres puntos):

\( \begin{bmatrix}{F(x_0)}&{G(x_0)}&{Z(x_0)}\\{F(x_1)}&{G(x_1)}&{Z(x_1)}\\{F(x_2)}&{G(x_2)}&{Z(x_2)}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{a_1}\\{a_2}\\{1-a_1-a_2}\end{pmatrix}\geq{}\begin{pmatrix}{H(x_0)}\\{H(x_1)}\\{H(x_2)}\end{pmatrix}. \)

En mathoverflow una pregunta parecida hace mención al teorema de Helly.

https://mathoverflow.net/questions/334934/sufficient-conditions-for-a-system-of-linear-inequalities-to-admit-a-solution

03 Septiembre, 2021, 03:01 pm
Respuesta #13

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Complemento mi pregunta: se sabe que si tenemos dos distribuciones normales \( F,G \) con parámetros, \( \mu_F,\mu_G,\sigma_F, \sigma_G \) entonces \( F(x)\leq{}G(x) \) para todo \( x \) si \( \mu_F>\mu_G \) y \( \sigma_F=\sigma_G. \) Ahora, supongamos que tenemos \( n+1 \) distribuciones normales \( F_i \)que no cumplen a la vez estas dos condiciones (es decir se cruzan en algún punto). Se puede demostrar que si existe \( a_i \) tal que \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{F_i(x)}\geq{}F_{k}(x) \) para todo \( x \) con \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{a_i}=1,a_i\geq{}0, \) entonces esas \( F_i \) con \( i=1,2,...,n \) van a ser conjuntamente preferidas a \( F_k. \) Mi pregunta es, las condiciones para que puedan eliminarse alguna de esas distribuciones por combinaciones convexas de las otras y cuántas quedarán, una, dos, \( \displaystyle\frac{n}{2},etc. \) Una condición necesaria, es que van a quedar las que tengan el valor máximo en su dominio, una especie de envolvente.

03 Septiembre, 2021, 06:38 pm
Respuesta #14

Luis Fuentes

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Hola

1) la condición \( p\geq{}a\geq{}q, \) como \( a \in [0,1] \), creo que \( p,q \) pueden no caer en ese intervalo, cómo serían sus valores para que exista ese \( a. \) Creo que con \( q<1 \) basta, suponiendo que \( p>q \) (es como si faltara esta condición, pues \( q \) podría ser mayor a uno y también \( p \).

No. Bajo el supuesto de que \( H(x)\leq max\{F(x),G(x)\} \) se tiene que siendo \( A=\{x\in dominio|F(x)> G(x)\} \) y \( B=\{x\in dominio|F(x)< G(x)\} \)

\( p=sup\left\{\dfrac{H(x)-G(x)}{F(x)-G(x)}|x\in A\right\}\leq 1 \)

\( q=inf\left\{\dfrac{H(x)-G(x)}{F(x)-G(x)}|x\in B\right\}\geq 0 \)

Por tanto si \( p\leq q \) está garantizado que \( [p,q]\cap [0,1]\neq\emptyset  \)

Por cierto has escrito al revés la condición. Es \( p\leq a\leq q \) ó \( q\geq a\geq p \).

Es decir, existe el \( a \) en la condiciones pedidas si sólo si \( H(x)\leq max\{F(x),G(x)\} \), para todo \( x\in dominio \) y con las definiciones anteriores \( p\leq q \). En ese caso basta tomar cualquier \( a\in [p,q]\cap [0,1] \).

Saludos.

03 Septiembre, 2021, 08:51 pm
Respuesta #15

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Cometí un error en la pregunta inicial; la desigualdad es al revés, debí haber escrito

\(  aF(x)+(1-a)G(x)\leq{}H(x)  \) creo que las conclusiones son similares, pero ahora se pide \( H(x)\geq{}\min\left\{{F(x),G(x)}\right\}, \) no se \( p,q. \)



Para el caso de \( n \) variables, creo que lo más fácil es pensar en variables aleatorias normales. Sabemos que \( F(x)\leq{}G(x) \) para todo \( x \) si se cumple \( \mu_F\geq{}\mu_G \) si ambas tienen la misma varianza. Si tenemos tres normales tales que \( \mu_F>\mu_G>\mu_H \) y digamos, \( \sigma_F>\sigma_H>\sigma_G. \) Entonces, parecería que podría encontrar un \( a \) tal que \( aF(x)+(1-a)G(x)\leq{}H(x). \)



06 Septiembre, 2021, 01:31 am
Respuesta #16

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Si tengo \( n \) variables aleatorias con distribuciones \( F_i \) para \( i=1,2,...,n \) entonces existe \( a_i\geq{}0 \), \( \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}{a_i}=1 \) tal que \( \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}{F_i}\leq{}F_n \) sys \( a_i=\displaystyle\frac{F_n-\displaystyle\sum_{i\neq j=1}^n{a_jF_j}}{F_i} \) esta entre cero y uno para todo \( i=1,2,...,n-1 \) y \( F_n\geq{}min\left\{{F_1,F_2,...,F_{n-1}}\right\} \), no?

06 Septiembre, 2021, 10:41 am
Respuesta #17

Luis Fuentes

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Hola

Si tengo \( n \) variables aleatorias con distribuciones \( F_i \) para \( i=1,2,...,n \) entonces existe \( a_i\geq{}0 \), \( \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}{a_i}=1 \) tal que \( \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}{F_i}\leq{}F_n \) sys \( a_i=\displaystyle\frac{F_n-\displaystyle\sum_{i\neq j=1}^n{a_jF_j}}{F_i} \) esta entre cero y uno para todo \( i=1,2,...,n-1 \) y \( F_n\geq{}min\left\{{F_1,F_2,...,F_{n-1}}\right\} \), no?

Pero es que esos \( F_i \) no son valores concretos; son funciones que para cada x en el dominio tienen un valor distinto.

Es decir esos cocientes \( \displaystyle\frac{F_n-\displaystyle\sum_{i\neq j=1}^n{a_jF_j}}{F_i} \) no son números.

Además esa expresión está en función de los propios \( a_j; \) no sé si es muy útil.

Saludos.