Autor Tema: Cruce funciones de distribución

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24 Agosto, 2021, 03:14 pm
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Quema

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Si tengo tres funciones de distribución \( F,G,H \) todas con soporte en \( [0,1] \). Supongamos que existen valores de \( x\in{}[0,1] \) tal que se cumplen las siguientes desigualdades \( F(x)>G(x),F(x)<G(x),F(x)>H(x),F(x)<H(x),G(x)>H(x),G(x)<H(x). \) Es decir, ninguna distribución domina estocásticamente a las otras. Es cierto que la condición necesaria para que exista \( a\in{}(0,1) \) tal que \( aF(x)+(1-a)G(x)\geq{}H(x) \) para todo \( x\in{}[0,1] \) es que las tres distribuciones se crucen siempre en los mismos puntos y obviamente \( H(x) \) quede siempre entre medio de las otras dos, no? Geométricamente es medio evidente este resultado, me parece. Creo que la condición se puede escribir de esta forma:

si \( \min\left\{{F(x),G(x)}\right\}\leq{}H(x)\leq{}\max\left\{{F(x),G(x)}\right\} \) para todo \( x \) entonces existe \( a\in{}(0.1) \) tal que \( aF(x)+(1-a)G(x)\geq{}H(x) \), no?

Adjunto un artículo que creo está relacionado a mi pregunta.

Se me ocurrió esto, si \( F(x)\geq{}H(x)\geq{}G(x) \) para todo \( x\in{}A \) y \( F(x)\leq{}H(x)\leq{}G(x) \) para todo \( x\in{}A' \) con la partición \( A\cup{}A'=[0,1]. \) Entonces, van a existir \( b,c\in{}(0,1) \) tal que
\( bF(x)+(1-b)G(x)\geq{}H(x) \) y \( cF(x)+(1-c)G(x)\geq{}H(x) \) Luego si \( a=\displaystyle\frac{1-b+c}{2} \) entonces \( aF(x)+(1-a)G(x)\geq{}H(x) \) para todo \( x\in{}[0,1]. \)



30 Agosto, 2021, 11:01 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Si tengo tres funciones de distribución \( F,G,H \) todas con soporte en \( [0,1] \). Supongamos que existen valores de \( x\in{}[0,1] \) tal que se cumplen las siguientes desigualdades \( F(x)>G(x),F(x)<G(x),F(x)>H(x),F(x)<H(x),G(x)>H(x),G(x)<H(x). \) Es decir, ninguna distribución domina estocásticamente a las otras. Es cierto que la condición necesaria para que exista \( a\in{}(0,1) \) tal que \( aF(x)+(1-a)G(x)\geq{}H(x) \) para todo \( x\in{}[0,1] \) es que las tres distribuciones se crucen siempre en los mismos puntos y obviamente \( H(x) \) quede siempre entre medio de las otras dos, no? Geométricamente es medio evidente este resultado, me parece. Creo que la condición se puede escribir de esta forma:

Como primera observación NO es necesario que \( H(x) \) quede entre las otras dos para que se cumpla \( aF(x)+(1-a)G(x)\geq{}H(x) \). Podría estar en algunos puntos por debajo de ambas.

Por el mismo motivo, el punto de corte de \( F(x) \) y \( G(x) \) no tiene porque obligar a que \( H(x) \) pase por ese punto; podría estar por debajo.

Citar
si \( \min\left\{{F(x),G(x)}\right\}\leq{}H(x)\leq{}\max\left\{{F(x),G(x)}\right\} \) para todo \( x \) entonces existe \( a\in{}(0.1) \) tal que \( aF(x)+(1-a)G(x)\geq{}H(x) \), no?

Adjunto un artículo que creo está relacionado a mi pregunta.

Se me ocurrió esto, si \( F(x)\geq{}H(x)\geq{}G(x) \) para todo \( x\in{}A \) y \( F(x)\leq{}H(x)\leq{}G(x) \) para todo \( x\in{}A' \) con la partición \( A\cup{}A'=[0,1]. \) Entonces, van a existir \( b,c\in{}(0,1) \) tal que
\( bF(x)+(1-b)G(x)\geq{}H(x) \) y \( cF(x)+(1-c)G(x)\geq{}H(x) \) Luego si \( a=\displaystyle\frac{1-b+c}{2} \) entonces \( aF(x)+(1-a)G(x)\geq{}H(x) \) para todo \( x\in{}[0,1]. \)

Observa este ejemplo:

\( f(x)=sin(2\pi x) \)
\( g(x)=sin(2\pi x+\pi) \)
\( h(x) \) la poligonal que une los puntos \( (0,0),(1/4,1),(1/2,0),(3/4,-1),(1,0) \)

Se cumple que \( h(x) \) está comprendida entre \( f \) y \( g \).

Pero no existen ningún \( a\in [0,1] \) tal que \( af(x)+(1-a)g(x)\geq h(x) \) para todo \( x\in [0,1]  \).

Puedes comprobarlo en el dibujo moviendo el parámetro \( a \).


Saludos.

30 Agosto, 2021, 03:50 pm
Respuesta #2

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Se podrían encontrar condiciones necesarias y suficientes para que existan ese \( a \). Me interesa analizar el caso cuando las funciones son distribuciones acumuladas de variables aleatorias, supongamos que tengan el mismo soporte. Como son todas positivas, una condición necesaria es que \( H \) pase o por debajo o por entre medio de las otras distribuciones, no?. Y si fueran más de una función de distribución y buscara esas condiciones tal que

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{a_iF_i(x)}\geq{}H(x) \) con \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{a_i}=1,a_i\geq{}0. \)

01 Septiembre, 2021, 11:38 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Se podrían encontrar condiciones necesarias y suficientes para que existan ese \( a \). Me interesa analizar el caso cuando las funciones son distribuciones acumuladas de variables aleatorias, supongamos que tengan el mismo soporte. Como son todas positivas, una condición necesaria es que \( H \) pase o por debajo o por entre medio de las otras distribuciones, no?. Y si fueran más de una función de distribución y buscara esas condiciones tal que

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{a_iF_i(x)}\geq{}H(x) \) con \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{a_i}=1,a_i\geq{}0. \)

Una condición necesaria es la misma: que la función \( H \) pase por debajo o en medio de las otras distribuciones. Ten en cuenta que cualquier combinación lineal convexa de unos números da otro comprendido entre el mínimo y máximo de los mismos.

Por otra parte volviendo al problema con dos funciones, si quieres que:

\( aF(x)+(1-a)G(x)\geq H(x) \)

Si llamas \( A=\{x\in [a,b]|F(x)> G(x)\} \) y \( B=\{x\in [a,b]|F(x)< G(x)\} \) tiene que cumplirse que:

\( a\geq \dfrac{H(x)-G(x)}{F(x)-G(x)} \) para todo \( x\in A \)
\( a\leq \dfrac{H(x)-G(x)}{F(x)-G(x)} \) para todo \( x\in B \)

Entonces si llamas:

\( p=sup\left\{\dfrac{H(x)-G(x)}{F(x)-G(x)}|x\in A\right\} \)
\( q=inf\left\{\dfrac{H(x)-G(x)}{F(x)-G(x)}|x\in B\right\} \)

tiene que cumplirse que \( q\color{red}\geq\color{black} a\geq p \).

Es decir la condición necesaria y suficiente sería que \( H \) pase o por debajo o por entre medio de las otras distribuciones y que   \( q\color{red}\geq\color{black} a\geq p \).

Saludos.

CORREGIDO

01 Septiembre, 2021, 02:09 pm
Respuesta #4

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Hay una desigualdad mal al final (\( q \) puede ser negativo, no?), además si \( H \) para por medio o debajo de las dos siempre existirá el \( a \). Dos preguntas:

i) Si se cruzan más de una vez \( F(x) \) y \( G(x) \),
ii) cómo sería la generalización para \( n \) funciones, ahí cómo serían los \( a_i. \) Creo que la función \( H \) debería siempre estar por debajo o entre medio de al menos dos funciones en todo el dominio.

01 Septiembre, 2021, 05:54 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Hay una desigualdad mal al final (\( q \) puede ser negativo, no?),

Si, lo he corregido.

\( q \) no puede ser negativo. Cuando \( x\in B \) se tiene que \( g(x)>f(x) \) y por tanto \( \dfrac{h(x)-g(x)}{f(x)-g(x)} \) es negativo entre negativo: positivo.

Citar
además si \( H \) para por medio o debajo de las dos siempre existirá el \( a \). Dos preguntas:

No entiendo la frase en rojo. En el ejemplo que te puse en mi primera respuesta \( H \) está en el medio de ambas pero no existe el \( a \).

Citar
i) Si se cruzan más de una vez \( F(x) \) y \( G(x) \),

Lo que he escrito vale para cualquier número de cruces de las funciones.

Citar
ii) cómo sería la generalización para \( n \) funciones, ahí cómo serían los \( a_i. \) Creo que la función \( H \) debería siempre estar por debajo o entre medio de al menos dos funciones en todo el dominio.

Primero aclaremos del todo el caso de dos funciones.

Saludos.

01 Septiembre, 2021, 10:01 pm
Respuesta #6

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Ok, de acuerdo en todo, el "para" es si pasa, entonces siempre existirá el \( a \). Recuerda que en tu ejemplo las funciones toman valores negativos y aquí son funciones de distribución y son siempre positivas.

01 Septiembre, 2021, 10:34 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Ok, de acuerdo en todo, el "para" es si pasa, entonces siempre existirá el \( a \). Recuerda que en tu ejempla las funciones toman valores negativos y aquí son funciones de distribución y son siempre positivas.

Pero eso no es problema: suma por ejemplo \( 7x \) a todas las funciones del ejemplo y sigue habiendo el mismo problema. No hay manera de conseguir el \( a. \)

Ahora las funciones son crecientes y positivas. Escalándolas adecuadamente pueden ser funciones de distribución.


Saludos.

01 Septiembre, 2021, 10:36 pm
Respuesta #8

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Cómo se pone formalmente (matemáticamente) que la función \( H \) pasa por el medio o por debajo.

01 Septiembre, 2021, 10:38 pm
Respuesta #9

Luis Fuentes

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Cómo se pone formalmente (matemáticamente) que la función \( H \) pasa por el medio o por debajo.

\( H(x)\leq max\{F(x),G(x)\} \) para todo \( x\in [a,b] \).

Saludos.