Autor Tema: Medida de Lebesgue para los borelianos

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22 Agosto, 2021, 09:03 am
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YeffGC

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Hola amigos me ha surgido una duda estudiando la construcción de la distribución normal encontré en el libro "Measure Theory
and Probability Theory" de Krishna B. Athreya  que enuncio aca


Teorema Medidas de Lebesgue-Stieltjes en \(  \mathbb{R} \): 

sea \( F: \mathbb{R} \longrightarrow{ \mathbb{R}}     \) que sastiface

i) \(  x_1< x_2 \Rightarrow  F(x_1) \leq F(x_2)   \) (no decreciente)

ii) \(  F(x)=F(x+) \equiv \displaystyle\lim_{y \to{+}x}{F(y)}  \textrm{  para todo }  x \in \mathbb{R}   \) F es continua.

Sea C la clase de conjuntos de la forma \(  (a, b] \textrm{ o }  (b, \infty), −\infty \leq a <b < \infty \).
Entonces, existe una medida \( \mu _F  \) definida en \(  B \equiv B (\mathbb{R}) \), la más pequeña σ-
álgebra generada por C tal que

\(  \mu_F  ((a,b])= F(b)-F(a)  \) para todo \(  −\infty \leq a <b < \infty \).




Corolario 1 : Existe una medida m en  \(  \mathcal{B} ( \mathbb{R})  \) tal que m(I)= la longitud de I, para cualquier intervalo I   (medida de lebesgue en \(  \mathbb{R} \))


Corolario 2 :   Existe una medida λ en \(  \mathcal{B} ( \mathbb{R})  \) tal  que

\(  \lambda((a,b])= \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \displaystyle\int_{a}^{b} e^{-x^2/2} dx  \)

  Esta medida se llama la medida de probabilidad normal estándar en \( \mathbb{R}  \)


Mi pregunta en si es es la distribución normal estándar  una medida de lebesgue sobre los borelianos?  me gustaria que aclararan esa duda he buscado mas referencias y no he encontrado :banghead:

22 Agosto, 2021, 09:52 am
Respuesta #1

geómetracat

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No sé si entiendo muy bien tu duda. Medida de Lebesgue (sobre los borelianos) solamente hay una, que es la que asigna a cada intervalo su longitud, es decir, la de tu corolario \[ 1 \]. Además, esta medida de Lebesgue es una medida de Lebesgue-Stieltjes que se obtiene tomando \[ F(x)=x \] en el teorema que pones.

La medida del corolario \[ 2 \] (medida de probabilidad normal) no es la medida de Lebesgue, pues no asigna a cada intervalo su longitud. Por ejemplo, esta medida cumple que \[ \lambda(\Bbb R)=1 \], mientras que con la medida de Lebesgue \[ m(\Bbb R)=+\infty \].
Lo que sí es cierto es que es una medida de Lebesgue-Stieltjes, que se obtiene del teorema tomando \[ F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-x^2/2} dx \], que puedes comprobar fácilmente que cumple  las dos condiciones del teorema.

No sé si con esto respondo a tu pregunta. Cualquier duda vuelve a preguntar.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Agosto, 2021, 10:24 am
Respuesta #2

YeffGC

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No sé si entiendo muy bien tu duda. Medida de Lebesgue (sobre los borelianos) solamente hay una, que es la que asigna a cada intervalo su longitud, es decir, la de tu corolario \[ 1 \]. Además, esta medida de Lebesgue es una medida de Lebesgue-Stieltjes que se obtiene tomando \[ F(x)=x \] en el teorema que pones.

La medida del corolario \[ 2 \] (medida de probabilidad normal) no es la medida de Lebesgue, pues no asigna a cada intervalo su longitud. Por ejemplo, esta medida cumple que \[ \lambda(\Bbb R)=1 \], mientras que con la medida de Lebesgue \[ m(\Bbb R)=+\infty \].
Lo que sí es cierto es que es una medida de Lebesgue-Stieltjes, que se obtiene del teorema tomando \[ F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-x^2/2} dx \], que puedes comprobar fácilmente que cumple  las dos condiciones del teorema.

No sé si con esto respondo a tu pregunta. Cualquier duda vuelve a preguntar.

Entonces la corrección en el corolario 1 es que existe una medida que cumple esas condiciones se llama  lebesgue-stieltjes. 

Y la medida  de probabilidad normal  es una medida lebesgue-stieltjes sobre los borelianos, está correcto como lo menciono ?

22 Agosto, 2021, 01:40 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Entonces la corrección en el corolario 1 es que existe una medida que cumple esas condiciones se llama  lebesgue-stieltjes. 

No. Una medida de Lebesgue-Stieltjes es cualquier medida obtenida vía el teorema aplicado a alguna función \[ F \] que cumpla las condiciones. Es decir, no es una medida concreta sino es una familia de medidas. Puedes decir que tal medida es una medida de Lebesgue-Stieltjes, pero no puedes hablar de la medida de Lebesgue-Stieltjes, pues hay muchas medidas de Lebesgue-Stieltjes distintas.

Cuando se habla de medida de Lebesgue, a secas, se refiere a una medida concreta, que es la medida de Lebesgue-Stieltjes correspondiente a tomar \[ F \] igual a la identidad. Así, se habla de la medida de Lebesgue (en \[ \Bbb R \]). Al igual que la medida de probabilidad normal es una medida concreta, que pertenece a la familia de medidas de Lebesgue-Stieltjes, pero que es distinta de la medida de Lebesgue (pues corresponde a tomar una \[ F \] distinta, la que puse en mi mensaje anterior).

En resumen, "medidas de Lebesgue-Stieltjes" hace referencia a una familia de medidas, de las que hay infinitas medidas distintas. "Medida de Lebesgue" y "medida de probabilidad normal" hacen referencia a dos medidas concretas, distintas entre sí, y ambas pertenecen a la familia de medidas de Lebesgue-Stieltjes.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Agosto, 2021, 05:29 am
Respuesta #4

YeffGC

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No. Una medida de Lebesgue-Stieltjes es cualquier medida obtenida vía el teorema aplicado a alguna función \[ F \] que cumpla las condiciones. Es decir, no es una medida concreta sino es una familia de medidas. Puedes decir que tal medida es una medida de Lebesgue-Stieltjes, pero no puedes hablar de la medida de Lebesgue-Stieltjes, pues hay muchas medidas de Lebesgue-Stieltjes distintas.

Cuando se habla de medida de Lebesgue, a secas, se refiere a una medida concreta, que es la medida de Lebesgue-Stieltjes correspondiente a tomar \[ F \] igual a la identidad. Así, se habla de la medida de Lebesgue (en \[ \Bbb R \]). Al igual que la medida de probabilidad normal es una medida concreta, que pertenece a la familia de medidas de Lebesgue-Stieltjes, pero que es distinta de la medida de Lebesgue (pues corresponde a tomar una \[ F \] distinta, la que puse en mi mensaje anterior).

En resumen, "medidas de Lebesgue-Stieltjes" hace referencia a una familia de medidas, de las que hay infinitas medidas distintas. "Medida de Lebesgue" y "medida de probabilidad normal" hacen referencia a dos medidas concretas, distintas entre sí, y ambas pertenecen a la familia de medidas de Lebesgue-Stieltjes.

)
Gracias ahora esta muy claro ahora se que puedo construir una distribución para esa medida que seria la distribución normal pero es para el caso (0,1)   pero en otro caso obtenemos

\(  \displaystyle\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \displaystyle\int_{x}^{- \infty}  \displaystyle e ^ {-\displaystyle\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}} dt  \)


se puede justificar la inclusion de \( \mu, \sigma  \)  asi mismo la estandizacion  \(  Z \) es a cierto modo una transformacion de medida?

23 Agosto, 2021, 08:48 am
Respuesta #5

geómetracat

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Sí, para cada \[ \mu \in \Bbb R, \sigma^2>0 \] se puede construir la medida de probabilidad normal \[ N(\mu,\sigma) \] como la medida de Lebesgue-Stieltjes con \[ F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^x e^{-(t-\mu)^2}{2\sigma^2}dt \].

La estandarización se explica normalmente en términos de variables aleatorias, que no son medidas sino funciones medibles. Pero la puedes ver como una transformación de medidas si quieres, sí. Específicamente, si \[ \lambda \] es una medida cualquiera en \[ \Bbb R \] (pongamos en los borelianos) y \[ f:\Bbb R \to \Bbb R \] es una función medible cualquiera, entonces \[ f_*\lambda \] es la medida definida por \[ f_*\lambda(B)=\lambda(f^{-1}(B)) \] (a esto se le llama a veces el "push-forward" de una medida).
La estandarización corresponde a hacer el push-forward tomando \[ f(x)=\frac{x-\mu}{\sigma} \]. Pues en ese caso, si \[ \lambda \] es la medida de probabilidad correspondiente a \[ N(\mu,\sigma) \] se tiene que \[ f_*\lambda((a,b)) = \lambda(f^{-1}(a,b)) = \lambda((\mu + a \sigma, \mu + b \sigma)) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{\mu+a\sigma}^{\mu+b\sigma} e^{-(t-\mu)^2/2\sigma^2}dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_a^b e^{-u^2/2}du   \] (en el último paso he hecho el cambio de variable \[ u=(t-\mu)/\sigma \]), que muestra que efectivamente \[ f_*\lambda \] es la medida de probabilidad normal estándar.

Pero como ya digo, en probabilidad normalmente lo más importante no son las medidas de probabilidad en sí, sino las variables aleatorias, y lo que se hace es pensar las transformaciones en términos de cambio de variable aleatoria, más que directamente en las medidas como te he puesto arriba.
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29 Agosto, 2021, 08:44 am
Respuesta #6

YeffGC

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Existe algún articulo o libro que haga dicha construcción con los resultados que dices seria interesante verla detalladamente

30 Agosto, 2021, 08:09 am
Respuesta #7

geómetracat

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Pues no sé ninguna referencia concreta, pero supongo que cualquier libro de probabilidad (con teoría de la medida, no los libros elementales) traerá estas cosas. Pero de todos modos en mi mensaje anterior tampoco he puesto ningún resultado especial, todo sale de los teoremas que pusiste al principio y de la definición de push-forward de medidas, que es la que te puse. No tiene más misterio.
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