Autor Tema: Hallar una Base de Polinomio de Grado menor ó igual a 3

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18 Agosto, 2021, 07:15 pm
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hernanlopezpardo

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Como les va, les escribia para consultar el siguiente Subespacio del que tengo que calcular la Base. Se los paso y les detallo lo que pense.

\( S=[p\in{\Bbb R_3[x]}/p(1)=0] \)

1 seria raiz triple?. De ser asi pensaba desarrollar \( (x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1 \) La base seria \( S=[x^3,-3x^2,3x,-1] \)

Luego me da otro subespacio \( T=[p\in{R3[x]}/\textsf{coeficiente cuadrado= independiente=0}] \) Me quedaria la base \( T=[x^3,x] \)

La única Intersección seria \( x^3 \) ?

Muchas gracias

18 Agosto, 2021, 08:29 pm
Respuesta #1

franma

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Buenas hernanlopezpardo,

Fíjate que si con tu base me construyo el polinomio: \( p(x)=-1 \) este no tiene como raíz al uno.
Una manera es considerar el polinomio: \( ax^3 + bx^2 + cx +d \) e imponer la condición \( p(1)=0 \)
\( p(1)=a + b + c +d=0 \)
De aquí basta despejar cualquier coeficiente que gustemos, por ejemplo la d.
\( d=-a-b-c \)
Por lo tanto los polinomios serán de la forma:
\( p(x)=ax^3 + bx^2 + cx + (-a-b-c)=a(x^3-1)+b(x^2-1)+c(x-1) \)

Luego una base del subespacio: \( \{(x^3-1),(x^2-1),(x-1)\} \).
Comprobar que son LI es una cuenta sencilla.

Cualquier cosa repregunta.

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

18 Agosto, 2021, 08:32 pm
Respuesta #2

hernanlopezpardo

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Franma, sabes que ese desarrollo lo habia hecho, obteniendo esa base, pero no terminaba de entenderlo.

Te agradezco la ayuda.