Autor Tema: Determinar si es diagonalizable (con parametros).

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13 Agosto, 2021, 02:06 am
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franma

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Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
En cada caso, hallar los valores reales de a y b para que la matriz sea diagonalizable.

\( A=\begin{pmatrix}{a}&{1}&{-1}\\{2}&{a}&{2}\\{1}&{1}&{a}\end{pmatrix} \)

El polinomio característico de A es:
\( x_A(\lambda)=(a-\lambda)\begin{vmatrix}{a-\lambda}&{2}\\{1}&{a-\lambda}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}{2}&{2}\\{1}&{a-\lambda}\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}{2}&{a-\lambda}\\{1}&{1}\end{vmatrix} \)

\( =(a-\lambda)(\lambda^2-2a\lambda+a^2-3) \)

Cuyas raices son \( \lambda_1=a,\ \lambda_2=a+\sqrt3, \ \lambda_3=a-\sqrt3 \)

Al tener 3 valores propios diferentes podemos afirmar que es diagonalizable  \( \forall a \in \mathbb{R} \)



\( B=\begin{pmatrix}{1}&{-2}&{-2-a}\\{0}&{1}&{a}\\{0}&{0}&{1}\end{pmatrix} \)

Cuyo polinomio caractersitico es:
\( x_B(\lambda)=(1-\lambda)^3 \)

Calculemos el subespacio asociado al unico valor propio 1.

\( S_1=\text{ker}\begin{pmatrix}{0}&{-2}&{-2-a}\\{0}&{0}&{a}\\{0}&{0}&{0}\end{pmatrix} \)

Que es equivalente al siguiente sistema:
\(
\begin{cases}-2y+(-2-a)z=0\\az=0\end{cases} \)

Por ser 1 raiz triple, necesariamente este subespacio debe ser de dimension 3.
Vemos en la ecuacion que \( x \) ya es libre, si \( a\neq0 \) \( z \) deber ser cero igual que \( y \).
Si \( a=0 \) entonces tenemos:
\( -2y+-2z=0\Longleftrightarrow{y=-z} \)

Lo que nos da un subespacio de diemension 2, por lo que la matriz B no es diagonalizable para ningun valor de a.



\( C=\begin{pmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{b}&{0}\\{a}&{0}&{0}\end{pmatrix} \)

Cuyo polinomio caracteristico es:
\( x_C(\lambda)=(b-\lambda)(\lambda^2-a) \)

Cuyas raices son \( \lambda_1=b,\ \lambda_2=\sqrt{a},\ \lambda_3=-\sqrt{a} \)

Distingo 3 casos ya que el ejercicio nunca especifica cuerpo.
Si estamos en \( \mathbb{R} \) entonces \( \forall a>0 \) C es diagonalizable. Siempre y cuando \( b^2 \neq a \)

Si estamos en \( \mathbb{C} \) entonces \( \forall a\neq0 \) C es diagonalizable.

Y ahora estudiare el caso \( a=0 \).

Hay que ver la dimensión del subespacio asociado al valor propio 0.

\( S_0=\text{ker}\begin{pmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{b}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{pmatrix} \)

Equivale al sistema:
\( \begin{cases}z=0\\by=0\end{cases} \)

Nuestra única opción aquí es que \( b=0 \), de lo contrario el espacio generado es de dimensión 2. Pero si \( b=0 \), ahora S_3 debería ser de dimensión 3 ya que es raíz triple, pero como acabamos de ver \( \text{dim}(S_0)=2 \).

De esta manera concluimos el analisis de todos los casos.

¿Lo ven correcto? ¿Falto algun caso?

Desde ya muchas gracias! :)

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

13 Agosto, 2021, 03:47 am
Respuesta #1

delmar

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Hola franma

Veo correcto el desarrollo de los 3 casos y sus conclusiones; pero una observación para el caso de la matriz C
Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
En cada caso, hallar los valores reales de a y b para que la matriz sea diagonalizable.

Y ahora estudiare el caso \( a=0 \).

Hay que ver la dimensión del subespacio asociado al valor propio 0.

\( S_0=\text{ker}\begin{pmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{b}&{0}\\{0}&{0}&{0}\end{pmatrix} \)

Equivale al sistema:
\( \begin{cases}z=0\\by=0\end{cases} \)

Nuestra única opción aquí es que \( b=0 \), de lo contrario el espacio generado es de dimensión 2.

En el caso de matriz C cuando \( a=0\wedge b\neq 0\Rightarrow{z=0,y=0} \) esto implica que el subespacio de autovectores asociados al autovalor 0 es de la forma \( x\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\end{pmatrix} \) y este subespacio es de dimensión 1


Saludos

13 Agosto, 2021, 02:36 pm
Respuesta #2

franma

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Buenas delmar,

Toda la razón. Me apure y no vi bien como quedaba el subespacio si \( b\neq 0 \).
Muchas gracias. :)

Saludos,
Franco.
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