Autor Tema: Distribución Hipergeométrica

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12 Agosto, 2021, 04:28 am
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pablo.chanduj

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               Buenas noches a todos, tengo el siguiente ejercicio:
               De un lote de 10 proyectiles se seleccionan 4 y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotan ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 exploten?

               Mi solución planteada es la siguiente:

\( \displaystyle {
P(X<2)=\frac{\binom{3}{x}\cdot \binom{10-3}{4-x}}{\binom{10}{4}}=0,6666
} \)

               Es correcto mi planteo? espero respuestas! saludos cordiales!

               PD: Lo que está entre paréntesis es combinatoria. Cómo se escribe combinatoria con Latex?

\( \LaTeX \) corregido por la moderación.

12 Agosto, 2021, 05:52 am
Respuesta #1

Masacroso

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               Buenas noches a todos, tengo el siguiente ejercicio:
               De un lote de 10 proyectiles se seleccionan 4 y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotan ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 exploten?

               Mi solución planteada es la siguiente:

\( \displaystyle {
P(X<2)=\frac{\binom{3}{x}\cdot \binom{10-3}{4-x}}{\binom{10}{4}}=0,6666
} \)

               Es correcto mi planteo? espero respuestas! saludos cordiales!

¿Que sería ahí \( x \)? Tampoco aclaras que es \( X \) así que no veo "planteo" sino más bien una fórmula y un valor.

En cualquier caso, así es como yo lo haría: todas las elecciones diferentes de cuatro proyectiles de entre diez disponibles son \( \binom{10}{4} \), luego los casos favorables son aquellos en los que elegimos un grupo de cuatro en los que a lo sumo hay dos cohetes defectuosos. Para contar esto último podemos hacerlo sumando los casos donde no hay proyectiles defectuosos, donde hay uno y luego donde hay dos.

El total de proyectiles no defectuosos disponibles es \( 10-3=7 \), entonces todos los grupos posibles de cuatro proyectiles sin proyectiles defectuosos será \( \binom{7}{4} \). Si hay uno defectuoso entre los cuatro entonces todos los casos posibles serán \( \binom{3}{1}\cdot \binom{7}{3} \), es decir, elegimos uno defectuoso de entre los tres posibles y los tres restantes de los siete proyectiles no defectuosos. Siguiendo el mismo razonamiento tenemos que los casos con exactamente dos proyectiles defectuosos serán \( \binom{3}{2}\cdot \binom{7}{2} \).

Por tanto la probabilidad buscada será

\( \displaystyle{
\frac{\binom{7}{4}+\binom{3}{1}\cdot \binom{7}{3}+\binom{3}{2}\cdot \binom{7}{2}}{\binom{10}{4}}=\frac{16\cdot 7^{\underline{3}}+3!\cdot 3^{\underline{2}}\cdot 7^{\underline{2}}}{10^{\underline{4}}}=\frac{4\cdot 5+3^2}{10\cdot 3}=\frac{29}{30}\approx 96,7 \%
} \)

En la simplificación he utilizado las identidades combinatorias

\( \displaystyle{
\binom{n}{m}=\binom{n}{n-m},\quad \binom{n}{m}=\frac{n^{\underline{m}}}{m!},\quad n,m\in \mathbb N\cup\{0\}
} \)

donde \( n^{\underline{m}}:=\prod_{k=0}^{m-1}(n-k) \) se conoce como factorial descendente.

               
Citar
PD: Lo que está entre paréntesis es combinatoria. Cómo se escribe combinatoria con Latex?

Los coeficientes binomiales se escriben \binom{}{} y entre los corchetes van los números o símbolos, por ejemplo \binom{n}{m} se ve como \( \binom{n}{m} \). Hay otros comandos para escribir coeficientes binomiales pero ahora mismo no me acuerdo cómo son, yo siempre he usado ese y con eso me basta.

12 Agosto, 2021, 04:40 pm
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Otro sería [tex] {m \choose n} [/tex]