Autor Tema: Igualdad de subespacios vectoriales

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07 Agosto, 2021, 12:09 am
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nktclau

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Hola FORO!! tengo una duda respecto a la definición de la igualdad de dos subespacios vectoriales. Agradecería muchísimo vuestra gran ayuda.

Se que la definición dice así:

Si \( \mathbb{S} \) y \( \mathbb{T} \) son dos subespacios de un espacio vectorial \( \mathbb{V} \) que cumplen \( Dim(\mathbb{S})=Dim(\mathbb{T}) \) y además  \( \mathbb{S}\subseteq{\mathbb{T}} \) ó \( \mathbb{T}\subseteq{\mathbb{S}} \) entonces \( \mathbb{S}=\mathbb{T} \)

Ahora bien: Si he probado que \( \mathbb{S}\not\subset\mathbb{T} \), ¿tendría que  probar que \( \mathbb{T}\subseteq{\mathbb{S}} \)?

Básicamente si pruebo que una de las inclusiones no se verifica si la otra se verifica hace que la disyunción sea verdadera (esta sería mi afirmación). En caso no se verifique, la otra inclusión entonces \( \mathbb{S}\neq\mathbb{T} \)

 \( \underbrace{\mathbb{S}\subseteq{\mathbb{T}}}_{Falso} \) ó \( \underbrace{\mathbb{T}\subseteq{\mathbb{S}}}_{Verdadero} \)


Es así?
Gracias!

07 Agosto, 2021, 12:37 am
Respuesta #1

mathtruco

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Hola nktclau.

Ojo con los conectivos:

    \( \textrm{dim}(S)=\textrm{dim}(T)\;\,\textcolor{blue}{\wedge}\:\,\Big(S\subseteq T\:\,\textcolor{blue}{\vee}\:\, T\subseteq S\Big) \).


Tienes razón que si una de las inclusiones no se cumple y la otra sí entonces la conjunción sería verdadera. Pero en subespacios vectoriales con igual dimensión eso no ocurre. Para que la proposición completa sea verdadera sí o sí \( \textrm{dim}(S)=\textrm{dim}(T) \) debe ser verdadero.

Así que si lo siguiente es verdadero:

    \( \textrm{dim}(S)=\textrm{dim}(T)\;\,\textcolor{blue}{\wedge}\:\,\Big(S\subseteq T\Big) \)

entonces los subespacios vectoriales son iguales y gratis tenemos que \( T\subseteq S \), así mismo, si lo siguiente es verdadero

    \( \textrm{dim}(S)=\textrm{dim}(T)\;\,\textcolor{blue}{\wedge}\:\,\Big(T\subseteq S\Big) \)

los subespacios vectoriales son iguales y gratis tenemos que \( S\subseteq T \).

Lo que pasa es que la definición que tienes es equivalente a \( S=T \). Con la definición que tú das uno se ahorra probar una inclusión, lo que es muy útil.



P.D. Ver la primera respuesta de Fernando Revilla. Ahí nos hace la importante observación de que este resultado es verdadero sólo en dimensión finita.

07 Agosto, 2021, 01:19 am
Respuesta #2

nktclau

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Hola mathtruco MUCHISIMAS GRACIAS antes que nada.

Entonces si no se cumple  una de las dos condiciones de las siguientes: \( \begin{cases}\textrm{dim}(S)=\textrm{dim}(T)\;\,\textcolor{blue}{\wedge}\:\,\Big(S\subseteq T\Big) \\ \\ \textrm{dim}(S)=\textrm{dim}(T)\;\,\textcolor{blue}{\wedge}\:\,\Big(T\subseteq S\Big)\end{cases} \)

Cualquiera de ellas ¿puedo descartar tranquila que \( \mathbb{S}\neq\mathbb{T} \)? es decir no tiene sentido que evalúe la otra?

Saludos

07 Agosto, 2021, 03:23 am
Respuesta #3

mathtruco

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Pero por supuesto.

Todas las bases de un subespacio vectorial tiene igual dimensión, así que si \( S \) tiene dimensión distinta de \( T \) no pueden generar el mismo subespacio. Y si uno de los subespacios no es subconjunto de otro, significa que hay un elemento de uno que no es elemento del otro, entonces por supuesto no pueden ser el mismo conjunto.

(...)
 ¿puedo descartar tranquila que \( \mathbb{S}\neq\mathbb{T} \)? es decir no tiene sentido que evalúe la otra?
(...)

Así es. Si sabes las dimensiones de cada uno de los subespacios, y son iguales, entonces basta que verifiques una inclusión.

07 Agosto, 2021, 09:45 am
Respuesta #4

feriva

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Hola, nktclau.

Seguro que lo has estudiado en general, en teoría de conjuntos, y no te acuerdas (te pasará como a mí muchas veces). Para cualquier tipo de conjunto, no sólo de vectores, si A contiene a B y, a la vez, B contiene a A, es el mismo conjunto; teniendo en cuenta que con “el mismo conjunto” queremos decir también cosas como ésta, \( \{1,2,2,3\}\equiv\{1,2,3\}
  \), donde las representaciones son distintas pero el conjunto es el mismo porque tiene los mismos elementos. Con ello, tenemos que \( \{1,2,2,3\}\subseteq\{1,2,3\}
  \) y \( \{1,2,2,3\}\supseteq\{1,2,3\}
  \), que viene a querer decir que un conjunto está estrictamente contenido en sí mismo; algo muy intuitivo una vez que dejamos claro lo de las representaciones con cualquier ejemplo. Este conjunto de vectores considerado como subespcio, \( \{(0,1);(0,4);(0,11)\}
  \) está contenido en éste \( (0,1);(0,11)\}
  \) y viceversa, porque los distintos representantes no dan lugar a un subespacio diferente, en ambos casos tenemos una base un vector de \( \mathbb{R}^{2}
  \); en el sentido de que todos son equivalentes, dicho de otra manera, sólo tenemos este elemento \( \lambda(0,1) \). Ahora bien, si no te refieres a subespacios, sino a otro tipo de conjuntos, entonces pueden no ser iguales; si consideras esto \( \{(0,1);(0,4);(0,11)\}
  \) como un conjunto de puntos, como un subconjunto del producto cartesiano y no un conjunto de vectores, entonces es obvio que no está contenido en el otro; pero sí que ocurre al revés, éste último contiene al otro. Y no son iguales así considerados. 

Saludos.

07 Agosto, 2021, 07:38 pm
Respuesta #5

Fernando Revilla

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    • Fernando Revilla
   Matizo que la propiedad \( \dim S=\dim T \) y (\( S\subset T \) \( \vee \) \( T\subset S \)) implica \( S=T \) sólo es válida para dimensiones finitas.  Por ejemplo, eligiendo

        \( V=\mathbb{R} [ x ], \quad S=\mathbb{R} [ x ],\quad T=\left<{x^{2n}:n\in \mathbb{N}}\right> \)

tenemos \( T\subset S \), \( \dim S=\dim T=\aleph_0 \) y sin embargo, \( S\ne T \).