Autor Tema: Operaciones con transformaciones lineales y sus matrices asociadas.

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04 Agosto, 2021, 11:36 pm
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franma

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Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:

Se consideran las siguientes transformaciones lineales:

\( T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) tal que \( T(3,5)=(8,1), \ \ \ T(-2,1)=(-1,-5) \)

\( S:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) tal que \( S(1,0)=(1,1),\ \ \ S(0,1)=(0,1) \)

y las bases \( \mathcal{A}=\{(1,2),(1,1)\} \) y \( \mathcal{B}=\{(1,-1),(1,1\} \) de \( \mathbb{R}^2 \) y \( \mathbb{R}^2 \) respectivamente.

1. Hallar \( _\mathcal{B}(T+S)_\mathcal{A} \) y \( _\mathcal{B}(3T)_\mathcal{A} \)

2. Hallar \( _\mathcal{B}((S+T)^2)_\mathcal{A} \)

Nota: \( S^2=S\circ S \)

Realice lo siguiente:

Primero busque las expresiones explicitas de \( T \) y \( S \).
Para \( T \) obtuve \( T(x,y)=(x+y,2x-y) \)
Para \( S \) obtuve \( S(x,y)=(x,x+y) \)

De aquí resulta \( [T+S](x,y)=(2x+y,3x) \)

Ahora para hallar \( _\mathcal{B}(T+S)_\mathcal{A} \)

\( [T+S](1,2)=(4,3) \)
\( [T+S](1,1)=(3,3) \)

Esto debo expresarlo en coordenadas de la base B:

\( coord_\mathcal{B}(4,3)=(\frac{1}{2},\frac{7}{2}) \)
\( coord_\mathcal{B}(3,3)=(0,3) \)

Luego obtenemos:

\( _\mathcal{B}(T+S)_\mathcal{A}=\begin{pmatrix}{\frac{1}{2}}&{0}\\{\frac{7}{2}}&{3}\end{pmatrix} \)

Ahora para

\( _\mathcal{B}(3T)_\mathcal{A} \)

Primero busco \( _\mathcal{B}(T)_\mathcal{A} \)

\( T(1,2)=(3,0) \)
\( T(1,1)=(2,1) \)

Los expreso en la base B:

\( coord_\mathcal{B}(3,0)=(\frac{3}{2},\frac{3}{2}) \)
\( coord_\mathcal{B}(2,1)=(\frac{1}{2},\frac{3}{2}) \)

Luego obtenemos:

\( _\mathcal{B}(T)_\mathcal{A}=\begin{pmatrix}{\frac{3}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{\frac{3}{2}}&{\frac{3}{2}}\end{pmatrix} \)

Pero la matriz buscada es: \( _\mathcal{B}(3T)_\mathcal{A}=3_\mathcal{B}(T)_\mathcal{A} \)

Luego la matriz pedida es:

\( _\mathcal{B}(3T)_\mathcal{A}=\begin{pmatrix}{\frac{9}{2}}&{\frac{3}{2}}\\{\frac{9}{2}}&{\frac{9}{2}}\end{pmatrix} \)

Para el segundo apartado:

La suma de transformaciones lineales conmuta así que ya tenemos calculada \( (T+S)=(S+T) \)
\( [T+S]^2(x,y)=(7x+2y,6x+3y) \)

Para hallar:

\( _\mathcal{B}((S+T)^2)_\mathcal{A} \)

\( [T+S]^2(1,2)=(11,12) \)
\( [T+S]^2(1,1)=(9,9) \)

Expreso estos transformados en la base B:

\( coord_\mathcal{B}(11,12)=(-\frac{1}{2},\frac{23}{2}) \)
\( coord_\mathcal{B}(9,9)=(0,9) \)

Finalmente la matriz buscada es:

\( _\mathcal{B}((S+T)^2)_\mathcal{A}=\begin{pmatrix}{-\frac{1}{2}}&{0}\\{\frac{23}{2}}&{9}\end{pmatrix} \)

¿Ven correcta la solución? ¿Se les ocurre alguna manera corta o simplificar algún paso?

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

05 Agosto, 2021, 03:56 am
Respuesta #1

delmar

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Hola franma

Están correctos y  veo sencillos los pasos, principalmente por que se puede llegar con facilidad a una expresión explícita, en el apartado 3 se podría haber utilizado la propiedad de que la matriz de la compuesta de dos transformaciones lineales es el producto de las matrices, obviamente considerando las bases respectivas de \( A\rightarrow{B}\rightarrow{B} \) y que la transformación es la misma

Saludos

06 Agosto, 2021, 12:24 am
Respuesta #2

franma

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Buenas delmar,

Muchas gracias por la confirmación, muy atento como siempre :).
Si no me equivoco como dices quedaría:

\( _\mathcal{B}((S+T)^2)_\mathcal{A}=_\mathcal{B}((S+T))_\mathcal{A} \cdot _\mathcal{A}((S+T))_\mathcal{A} \)

La verdad no lo hice por perezoso, para no calcular las 2 matrices asociadas ;D.

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

06 Agosto, 2021, 03:52 am
Respuesta #3

delmar

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