Autor Tema: Matriz de cambio de base y coordenadas.

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04 Agosto, 2021, 02:39 am
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franma

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Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Dadas las bases de \( \mathcal{P}_2: \mathcal{A}=\{p_0,p_1,p_2\} \) donde \( p_i(t)=t^i, \forall t \in\mathbb{R} \ (i=0,1,2) \) y \( \mathcal{B}=\{q_0,q_1,q_2\} \) donde \( q_0(t)=t^2-1,\ q_1(t)=t-1,\ q_2(t)=1,\ \forall t\in\mathbb{R} \)

1. Hallar \( coord_\mathcal{A}(p) \) y \( coord_\mathcal{B}(p)\ \forall p\in\mathcal{P}_2 \)

2. Sea \( Id:\mathcal{P}_2\to\mathcal{P}_2 \) la transformación identidad, hallar \( _\mathcal{A}(Id)_\mathcal{B} \) y \( _\mathcal{B}(Id)_\mathcal{A} \)

3. Verificar que:
\( coord_\mathcal{A}(p)=_\mathcal{A}(Id)_\mathcal{B}\cdot coord_\mathcal{B}(p) \)

\( coord_\mathcal{B}(p)=_\mathcal{B}(Id)_\mathcal{A}\cdot coord_\mathcal{A}(p) \)

Hice lo siguiente:

Primero por comodidad escribo las bases nuevamente:
\( \mathcal{A}=\{1,t,t^2\} \)
\( \mathcal{B}=\{t^2-1,t-1,1\} \)

A primera vista se identifica que \( \mathcal{A} \) es la base canónica de \( \mathcal{P}_2 \)

Primer apartado:

Sea \( p(t)=at^2+bt+c \in \mathcal{P}_2 \)

Ahora si quiero escribir \( p \) como combinación lineal de los elementos de \( \mathcal{A} \) (Aquí ya los escribo como vectores de \( \mathbb{R}^3 \) por comodidad).

\( (c,b,a)=\lambda(1,0,0)+\beta(0,1,0)+\gamma(0,0,1) \)

Por ser la base canónica sale fácilmente \( \lambda=c,\ \beta=b,\ \gamma=a \)

Luego \( \boxed{coord_\mathcal{A}(p)=(c,b,a)} \)

Ahora buscamos escribir \( p \) como combinación lineal de elementos de \( \mathcal{B} \)

\( (c,b,a)=\lambda(-1,0,1)+\beta(-1,1,0)+\gamma(1,0,0) \)

Resolviendo el sistema obtuve \( \lambda=a,\ \beta=b,\ \gamma=a+b+c \)

Luego \( \boxed{coord_\mathcal{B}(p)=(a,b,a+b+c)} \)

Segundo apartado:

En cada columna de la matriz asociada \( _\mathcal{A}(Id)_\mathcal{B} \) basta colgar los vectores de la base \( \mathcal{B} \) expresados en coordenadas de la base \( \mathcal{A} \)

\( coord_\mathcal{A}(t^2-1)=(-1,0,1) \)
\( coord_\mathcal{A}(t-1)=(-1,1,0) \)
\( coord_\mathcal{A}(1)=(1,0,0) \)

\( _\mathcal{A}(Id)_\mathcal{B}=\begin{pmatrix}{-1}&{-1}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{pmatrix} \)

Un proceso analogo para la otra matriz \( _\mathcal{B}(Id)_\mathcal{A} \)

\( coord_\mathcal{B}(1)=(0,0,1) \)
\( coord_\mathcal{B}(t)=(0,1,1) \)
\( coord_\mathcal{B}(t^2)=(1,0,1) \)

\( _\mathcal{B}(Id)_\mathcal{A}=\begin{pmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{1}&{1}\end{pmatrix} \)

Tercer apartado:

La primera:

\( \boxed{coord_\mathcal{A}(p)=_\mathcal{A}(Id)_\mathcal{B}\cdot coord_\mathcal{B}(p)} \)

\( _\mathcal{A}(Id)_\mathcal{B}=\begin{pmatrix}{-1}&{-1}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{0}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}{a}\\{b}\\{a+b+c}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{c}\\{b}\\{a}\end{pmatrix} \)

La segunda:

\( \boxed{coord_\mathcal{B}(p)=_\mathcal{B}(Id)_\mathcal{A}\cdot coord_\mathcal{A}(p)} \)

\( _\mathcal{B}(Id)_\mathcal{A}=\begin{pmatrix}{0}&{0}&{1}\\{0}&{1}&{0}\\{1}&{1}&{1}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}{c}\\{b}\\{a}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{a}\\{b}\\{a+b+c}\end{pmatrix} \)

También se cumple como esperábamos.

¿Lo ven todo correcto?.
Para agregar este ejercicio (creo yo que era la idea), da un método para encontrar la matriz de cambio de base para cualesquiera dos bases tengamos.

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

04 Agosto, 2021, 03:59 am
Respuesta #1

delmar

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Hola franma

Una observación en el segundo apartado y que también tiene implicancias en el tercer apartado

¿Cómo se interpreta \( _AId_B \)? Creo que se interpreta como la transformación identidad con  A como base del dominio de la transformación lineal en este caso \( P_2 \) y con B como  base del espacio lineal que incluye al rango, en este caso ese espacio lineal es nuevamente \( P_2 \). Es decir A es la base del espacio lineal de salida y B la base del espacio lineal de llegada, en ese caso las respuestas (matrices) son al revés

Saludos

04 Agosto, 2021, 12:00 pm
Respuesta #2

franma

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Buenas delmar,

Perdón que olvide de explicar la notación.
Si tenemos una transformación lineal \( T:V \to W \) y dos bases:
\( A \) es base de \( V \)
\( B \) es base de \( W \).
Entonces su matriz asociada la denotamos \( _B(T)_A \).

Va la base de el espacio de llegada a la izquierda y la base del espacio de salida a la derecha, es un poco raro de leer al comienzo pero es la notación del curso :P.

Saludos,
Franco.
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05 Agosto, 2021, 01:14 am
Respuesta #3

delmar

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En ese caso esta bien


Saludos

05 Agosto, 2021, 01:41 am
Respuesta #4

franma

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Excelente, muchas gracias delmar.

Saludos,
Franco.
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