Autor Tema: Cambio de base 2

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

02 Agosto, 2021, 12:12 am
Leído 210 veces

nktclau

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,599
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Hola FORO, Necesito, por favor, de vuestra gran ayuda, con el siguiente ejercicio. Si bien solo tengo dudas con el inciso b) lo dejaré todo completo pues se relacionan.

Considere la base canónica en \( \mathbb{R}^2 \) y dos vectores \( v \) y \( w \) con coordenadas en esta base, como sigue: \( [v]_C=\begin{pmatrix}{3}\\{0}\end{pmatrix} \) y \( [w]_C=\begin{pmatrix}{0}\\{2}\end{pmatrix} \)

a) Si sabemos que \( [v]_B=\begin{pmatrix}{2}\\{-1}\end{pmatrix} \) y \( [w]_B=\begin{pmatrix}{-1}\\{2}\end{pmatrix} \) siendo \( B=\left\{{b_1 , b_2}\right\} \). Halle la base \( B \)

   La base hallada es \( B=\left\{\left(2 , \displaystyle\frac{2}{3} \right), \left(1 , \displaystyle\frac{4}{3} \right)\right\} \)

b) Suponga que se verifica para algún vector \( u \): \( [u]_C=\begin{pmatrix}{u_1}\\{u_2}\end{pmatrix} \) y \( [u]_B=\begin{pmatrix}{u'_1}\\{u'_2}\end{pmatrix} \) escribir las coordenadas de \( \begin{pmatrix}{u_1}\\{u_2}\end{pmatrix} \) en términos de \( \begin{pmatrix}{u'_1}\\{u'_2}\end{pmatrix} \)

No entiendo que me esatán solicitando?  :banghead: :banghead:

GRACIAS

02 Agosto, 2021, 01:13 am
Respuesta #1

franma

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 855
  • País: uy
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas nktclau,

Si la base hallada es \( B=\left\{\left(2 , \displaystyle\frac{2}{3} \right), \left(1 , \displaystyle\frac{4}{3} \right)\right\} \).

Cuando tenemos un vector en esta base por poner un ejemplo el \( [v]_B=\begin{pmatrix}{2}\\{-1}\end{pmatrix} \) nos dice que para obtener v en la canónica debemos sumar 2 veces el primer elemento de la base mas -1 veces el segundo elemento.

Entonces para el apartado (b) \( [u]_B=\begin{pmatrix}{u'_1}\\{u'_2}\end{pmatrix} \) nos dice que debemos sumar \( u'_1 \) veces el primer elemento de la base mas \( u'_2 \) veces el segundo elemento.

Luego \( [u]_C=u'_1\left(2,\dfrac{2}{3}\right)+u'_2\left(1,\dfrac{4}{3}\right)=\left(2u'_1,\dfrac{2}{3}u'_1\right)+\left(u'_2,\dfrac{4}{3}u'_2\right)=\boxed{\left(2u'_1+u'_2,\dfrac{2}{3}u'_1+\dfrac{4}{3}u'_2\right)} \).

Espero que ye haya sido de ayuda, si no se entendió algo pregunta nuevamente.

Saludos,
Franco.

En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

02 Agosto, 2021, 02:14 am
Respuesta #2

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,572
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola nktclau

Solamente para complementar lo dicho por franma si tienes las componentes de un vector u respecto a una base \( B=\left\{{b_1,b_2}\right\} \) estas se denominan \( [u]_B=\begin{pmatrix}{u'_1}\\{u'_2}\end{pmatrix} \) e implican \( u=u'_1b_1+u'_2b_2 \) Ec 1 Ahora si se tienen las componentes de \( b_1 \) y \( b_2 \) respecto a otra base por ejemplo la canónica y se conocen \( [b_1]_C=\begin{pmatrix}{2}\\{2/3}\end{pmatrix}, \ [b_2]_C=\begin{pmatrix}{1}\\{4/3}\end{pmatrix} \) ojo observa que los vectores \( b_1,b_2\in{R^2} \) tienen como componentes respecto a la base canónica sus mismos elementos en esas circunstancias si denominamos \( e_1,e_2 \) a los elementos de la base canónica se tiene por definición \( b_1=2e_1+(2/3)e_2, \ b_2=1e_1+(4/3)e_2 \) sutituyendo en la Ec 1 se tiene : \( u=u'_1(2e_1+(2/3)e_2)+u'_2(1e_1+(4/3)e_2)\Rightarrow{u=(2u'_1+u'_2)e_1+((2/3)u'_1+(4/3)u'_2)e_2} \) por definición las componentes de u respecto a la base canónica son .....

Saludos

02 Agosto, 2021, 06:58 am
Respuesta #3

feriva

  • $$\Large \color{#a53f54}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 9,932
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino

b) Suponga que se verifica para algún vector \( u \): \( [u]_C=\begin{pmatrix}{u_1}\\{u_2}\end{pmatrix} \) y \( [u]_B=\begin{pmatrix}{u'_1}\\{u'_2}\end{pmatrix} \) escribir las coordenadas de \( \begin{pmatrix}{u_1}\\{u_2}\end{pmatrix} \) en términos de \( \begin{pmatrix}{u'_1}\\{u'_2}\end{pmatrix} \)

No entiendo que me esatán solicitando?  :banghead: :banghead:
GRACIAS

Hola, nktclau.

\( [u]_{C}=\begin{pmatrix}{u_{1}}\\
{u_{2}}
\end{pmatrix}
  \)

\( [u]_{B}=\begin{pmatrix}{u'_{1}}\\
{u'_{2}}
\end{pmatrix}
  \)

En la práctica tienes una base “C” (una base de vectores en el espacio que sea) con la cual puedes formar una matriz \( M_{c}
  \), la matriz de la base.

Entonces, un vector referido a una base C, con números, se escribe \( M_{c}v_{c}
  \); este producto es el vector en la base C según sus coordenadas.

Si, por ejemplo (considerando el espacio \( \mathbb{R}^{2}
  \)) el vector es (1,2) en la base canónica, entonces es simplemente

\( \left(\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
1\\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1\\
2
\end{array}\right)
  \)

*(aunque los vectores se den en horizontal, ya sabes que normalmente se consideran en vertical para escribir la matriz de la base y el vector).

Si ahora te dan un vector llamado “u”, se pueden escribir (según la matriz de la base y de sus coordenadas en dicha base) así \( M_{c}u_{c}
  \) y así \( M_{b}u_{b}
  \).

Como se trata de mismo vector (el vector llamado “u”) pues son iguales, aunque escritos con distintos productos; como cuando tienes un producto equivalente, ni más ni menos; por ejemplo: \( (2)6=(3)4
  \).

Por tanto

\( M_{c}u_{c}=M_{b}u_{b}
  \).

Y del mismo modo que aquí \( (2)6=(3)4
  \), multiplicando a ambos lados por el inverso de dos, o sea 1/2, despejas y obtienes \( 6=(\dfrac{1}{2})(3)4
  \), en ese producto puede multiplicar a ambos la lados por la inversa de alguna de las matrices y hacer lo análogo:

\( M_{c}^{-1}M_{c}u_{c}=M_{c}^{-1}M_{b}u_{b}
  \).

Donde \( M_{c}^{-1}M_{c}=I
  \) es la matriz identidad, la matriz de unos, el neutro en las matrices, que funciona como el 1 con los escalares. Así, podemos escribir lo anterior directamente de esta manera:

\( u_{c}=M_{c}^{-1}M_{b}u_{b}
  \).

Y eso es lo que quiere decir esto que te dan \( [u]_{C}=\begin{pmatrix}{u_{1}}\\
{u_{2}}
\end{pmatrix}
  \).

* (Si \( M_c \) es la canónica, como su inversa es la misma, simplemente se queda así \( u_{c}=M_{b}u_{b}
  \).Y el producto de esas matrices lo puedes expresar vector por vector en horizontal como ha hecho Delmar 
)

Claro, hemos despejado el vector \( u_{c}
  \) (es decir, el vector “u” con sus coordenadas expresadas respecto de la base C) aislándolo en un lado de la igualdad.

Spoiler

Lo podemos ver con sólo una coordenada, con los números del ejemplo anterior poniendo subíndices:

\( (2)6_{2}=(3)4_{3}
  \)

\( 6_{2}=(\dfrac{1}{2})(3)4_{3}
  \)

Y las coordenadas del vector “u” en la base (2) serían 6; o sea \( u_{2}=6
  \)

En vez de eso, si multiplicamos por la inversa de 3, a los dos lados, quedaría el vector “u” expresado en base 3 y sus coordenadas serían 4; \( u_{3}=4
  \)

[cerrar]

Luego para expresarlo en base B, como te piden será multiplicando por la inversa de la matriz de la base B:

*(ahora que miro te piden lo contrario, que lo expreses en la base C pero en términos de B; no hay diferencia esencial, simplemente se haría multiplicando por la inversa de C, es lo que acabo de hacer antes)

Es decir, partimos de aquí

\( M_{c}u_{c}=M_{b}u_{b}
  \)

y operamos (multiplicando siempre por izquierda o siempre por derecha, porque en general el producto no es conmutativo en las operaciones con matrices) multiplicando por la inversa de B a ambos lados:

\( M_{b}^{-1}M_{c}u_{c}=M_{b}^{-1}M_{b}u_{b}
  \)

\( M_{b}^{-1}M_{c}u_{c}=I\cdot u_{b}
  \)

\( M_{b}^{-1}M_{c}u_{c}=u_{b}
  \)

Y ya está, éste \( {\color{blue}M_{b}^{-1}M_{c}u_{c}}
  \) es el vector “u” expresado con sus coordenadas respecto de B.

O sea, escribiendo el vector con las dos coordenadas que te dan, tienes

\( M_{b}^{-1}M_{c}\left(\begin{array}{c}
u_{1}\\
u_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
u_{1}^{\prime}\\
u_{2}^{\prime}
\end{array}\right)
  \)

El podructo de matrices \( M_{b}^{-1}M_{c}
  \) da otra matriz a la que se llama matriz de cambio de base. Si \( M_{c}
  \) fuera la canónica, pues sería directamente \( M_{b}^{-1}
  \); en otro caso no, en otro caso hay que hacer el producto, calcularlo.

En cuanto a la inversa de la matriz; pues se puede hacer de vector en vector y en horizontal (como haces normalmente las combinaciones lineales) o matricialmente usando Gauss o usando la adjunta... Eso ya según uno quiera o según venga mejor (o según lo pida el profesor).
Pero, aunque lo hagas vector por vector, es bueno que pienses en las bases como conjuntos de vectores que tiene sus bases duales correspondientes; quizá este enlace te sirva para ver cosas  https://es.wikipedia.org/wiki/Base_dual

Saludos.

04 Agosto, 2021, 07:25 pm
Respuesta #4

nktclau

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,599
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Femenino
Hola franma, delmar y feriva MILLÓN DE GRACIAS POR LA GRAN AYUDA!! ;) :) ;)

Me costó un poco entenderlo  pero todo me ha servido absolutamente!  ;)


Espero que ye haya sido de ayuda, si no se entendió algo pregunta nuevamente.

Saludos,
Franco.


Al principio no comprendía incluso me habia parecido que había un error, en \( [u]_C=u'_1\left(2,\dfrac{2}{3}\right)+u'_2\left(1,\dfrac{4}{3}\right)=\left(2u'_1,\dfrac{2}{3}u'_1\right)+\left(u'_2,\dfrac{4}{3}u'_2\right)=\boxed{\left(2u'_1+u'_2,\dfrac{2}{3}u'_1+\dfrac{4}{3}u'_2\right)} \)

Para mi era \( [u]_{\color\red{B}}=u'_1\left(2,\dfrac{2}{3}\right)+u'_2\left(1,\dfrac{4}{3}\right)=\left(2u'_1,\dfrac{2}{3}u'_1\right)+\left(u'_2,\dfrac{4}{3}u'_2\right)=\boxed{\left(2u'_1+u'_2,\dfrac{2}{3}u'_1+\dfrac{4}{3}u'_2\right)} \)

Luego leyendo y analizando lo que escribió delmar y feriva me dí cuenta, que si llamo \( [C]_B \) a la matriz de cambio de base de \( C \) a \( B \), entonces \( [u]_C=\left([C]_B\right)^{-1}[u]_B \), de donde me dije a mi misma, que el error lo tenia yo.


MUCHAS, MUCHAS GRACIAS a los tres, amigo feriva muy buena explicación  :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: :aplauso: