Autor Tema: Lancemos los dados

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26 Julio, 2021, 03:16 pm
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nathan

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Hola amigos, espero se encuentren muy bien. Podían ayudarme a resolver este ejercicio, ciertamente no logro resolverlo, es sobre análisis combinatorio.

Se lanzan 3 dados diferentes. ¿De cuántos modos pueden caer, de tal manera que los puntos no sean consecutivos?
Pero si el pensamiento corrompe el lenguaje, el lenguaje también puede corromper el pensamiento.

26 Julio, 2021, 04:22 pm
Respuesta #1

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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    • Fernando Revilla
Se lanzan 3 dados diferentes. ¿De cuántos modos pueden caer, de tal manera que los puntos no sean consecutivos?

Hallemos la probabilidad \( p \) del complementario. Primero hallamos la probabilidad de obtener los números consecutivos en orden. El primer número ha de ser \( 1,2,3 \) o \( 4 \) que ocurre con probabilidad \( \displaystyle\frac{2}{3} \). El segundo número ha de salir con probabilidad \( \displaystyle\frac{1}{6} \) y el tercero con probabilidad \( \displaystyle\frac{1}{6} \). La probabilidad es por tanto \( \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}. \) Ahora, si tres números son diferentes, se pueden ordenar de \( 3!=6 \) formas, por tanto \( p=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}\cdot 6=\displaystyle\frac{1}{9} \). La solución es por tanto \( 1-p=\displaystyle\frac{8}{9} \).

26 Julio, 2021, 07:15 pm
Respuesta #2

ancape

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Hallemos la probabilidad \( p \) del complementario. Primero hallamos la probabilidad de obtener los números consecutivos en orden. El primer número ha de ser \( 1,2,3 \) o \( 4 \) que ocurre con probabilidad \( \displaystyle\frac{2}{3} \). El segundo número ha de salir con probabilidad \( \displaystyle\frac{1}{6} \) y el tercero con probabilidad \( \displaystyle\frac{1}{6} \). La probabilidad es por tanto \( \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}. \) Ahora, si tres números son diferentes, se pueden ordenar de \( 3!=6 \) formas, por tanto \( p=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}\cdot 6=\displaystyle\frac{1}{9} \). La solución es por tanto \( 1-p=\displaystyle\frac{8}{9} \).

Perdona Fernando pero creo que las probabilidades 2/3, 1/6 y 1/6 no están bien. Efectivamente, es mejor pasar al complementario y hallar la probabilidad de obtener tres números consecutivos. Ordenemos los dados. El problema es que en el primer dado puede salir no sólo 1,2,3,4 sino también 5 o 6 pues 6,5,4 es una tirada admisible. Incluso si aceptamos 1,2,3,4 relegando 5,6 a los siguientes dados, una vez que salga un número 1,2,3,4, el segundo dado y el tercero no dan probabilidad 1/6. Por ejemplo, si sale 4 en el primer dado, en el segundo debería ser 2,3,5 ó 6. Esto es, la probabilidad de que el segundo dado de solución no desechable es 4/6. Una vez que tiremos el segundo dado, el tercero sí reduce su probabilidad a 1/6.

En fin, si no me he equivocado, creo que hay que seguir pensando

Saludos

26 Julio, 2021, 07:42 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Perdona Fernando pero creo que las probabilidades 2/3, 1/6 y 1/6 no están bien. Efectivamente, es mejor pasar al complementario y hallar la probabilidad de obtener tres números consecutivos. Ordenemos los dados. El problema es que en el primer dado puede salir no sólo 1,2,3,4 sino también 5 o 6 pues 6,5,4 es una tirada admisible. Incluso si aceptamos 1,2,3,4 relegando 5,6 a los siguientes dados, una vez que salga un número 1,2,3,4, el segundo dado y el tercero no dan probabilidad 1/6. Por ejemplo, si sale 4 en el primer dado, en el segundo debería ser 2,3,5 ó 6. Esto es, la probabilidad de que el segundo dado de solución no desechable es 4/6. Una vez que tiremos el segundo dado, el tercero sí reduce su probabilidad a 1/6.

En fin, si no me he equivocado, creo que hay que seguir pensando

La solución de Fernando es correcta. Otra forma de verlo es calcular todos los casos favorables frente a \( 6^3 \) casos posibles. Para la probabilidad complementaria los casos favorables son \( (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6) \) y todos los que resultan de permutar estas cuatro ternas. Como cada una admite \( 6 \) permutaciones, en total hay \( 4\cdot 6 \) casos favorables, luego la probabilidad (complementaria) es \( 4\cdot 6 /6^3 = 1/9 \), tal y como ha calculado Fernando por otra vía.

26 Julio, 2021, 07:46 pm
Respuesta #4

Fernando Revilla

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Perdona Fernando pero creo que las probabilidades 2/3, 1/6 y 1/6 no están bien. Efectivamente, es mejor pasar al complementario y hallar la probabilidad de obtener tres números consecutivos. Ordenemos los dados. El problema es que en el primer dado puede salir no sólo 1,2,3,4 sino también 5 o 6 pues 6,5,4 es una tirada admisible.

Fíjate en lo siguiente:

Primero hallamos la probabilidad de obtener los números consecutivos en orden.

26 Julio, 2021, 07:49 pm
Respuesta #5

robinlambada

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Hola.

Hallemos la probabilidad \( p \) del complementario. Primero hallamos la probabilidad de obtener los números consecutivos en orden. El primer número ha de ser \( 1,2,3 \) o \( 4 \) que ocurre con probabilidad \( \displaystyle\frac{2}{3} \). El segundo número ha de salir con probabilidad \( \displaystyle\frac{1}{6} \) y el tercero con probabilidad \( \displaystyle\frac{1}{6} \). La probabilidad es por tanto \( \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}. \) Ahora, si tres números son diferentes, se pueden ordenar de \( 3!=6 \) formas, por tanto \( p=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}\cdot 6=\displaystyle\frac{1}{9} \). La solución es por tanto \( 1-p=\displaystyle\frac{8}{9} \).

Perdona Fernando pero creo que las probabilidades 2/3, 1/6 y 1/6 no están bien. Efectivamente, es mejor pasar al complementario y hallar la probabilidad de obtener tres números consecutivos. Ordenemos los dados. El problema es que en el primer dado puede salir no sólo 1,2,3,4 sino también 5 o 6 pues 6,5,4 es una tirada admisible. Incluso si aceptamos 1,2,3,4 relegando 5,6 a los siguientes dados, una vez que salga un número 1,2,3,4, el segundo dado y el tercero no dan probabilidad 1/6. Por ejemplo, si sale 4 en el primer dado, en el segundo debería ser 2,3,5 ó 6. Esto es, la probabilidad de que el segundo dado de solución no desechable es 4/6. Una vez que tiremos el segundo dado, el tercero sí reduce su probabilidad a 1/6.

En fin, si no me he equivocado, creo que hay que seguir pensando

Saludos
Creo que no has entendido la respuesta de Fernando. Todas las posibles permutaciones que planteas en diferentes órdenes como  456; 465;546; 564;645; 654
Para cada trio consecutivo ya las contempla Fernando al multiplicar por las permutaciones de tres números consecutivos ( 6! ).

Primero razona para un orden determinado ( de menor a mayor) 123; 234; 345; 456.

Por ello la probabilidad de obtener el primer dado favorable ( en estas condiciones de menor a mayor) son \( \displaystyle\frac{4}{6} \)

Pero fíjate que una vez obtenido el resultado del primer dado, el segundo y el tercero están fijados y son únicos: si el primero es \( n \), los siguientes son \( n+1 \) y \(  n+2 \), con \( n \in{}I=\{1,2,3,4\}
 \)

Por ello las probabilidades siguientes son \( \dfrac 16 \)

Solo tienes que calcular todas las permutaciones de \( n,n+1,n+2 \), para tener todos los casos.

Saludos.

P.D.: Se me adelantaron.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

26 Julio, 2021, 08:48 pm
Respuesta #6

feriva

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A mí también me costó entenderlo al principio porque estaba pensando en dados en vez de en números.

En algún dado tiene que salir uno de éstos números, 1,2,3,4 como número más bajo, como mínimo del conjunto (en alguno dado, el que sea). Si la variación fuera, por ejemplo, (5,4,6) pues ya hay un dado donde está el 4 y siendo el más pequeño de los tres. Resumiendo, en todas las variaciones sale uno de éstos, 1,2,3,4 en algún dado y haciendo la función de mínimo del conjunto. Además, como el dado del número más bajo es único (no puede salir en dos o tres dados a la vez puesto que tienen que ser los tres números distintos en los casos favorables) la probabilidad para el primer número es entonces \( \dfrac{2}{3}
  \). Una vez que se tiene el primero número, pues claro, el número de en medio, en valor, y el mayor de todos son únicos y tienen probabilidad 1/6.

Saludos.

26 Julio, 2021, 11:09 pm
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

Se lanzan 3 dados diferentes. ¿De cuántos modos pueden caer, de tal manera que los puntos no sean consecutivos?

Hallemos la probabilidad \( p \) del complementario. Primero hallamos la probabilidad de obtener los números consecutivos en orden. El primer número ha de ser \( 1,2,3 \) o \( 4 \) que ocurre con probabilidad \( \displaystyle\frac{2}{3} \). El segundo número ha de salir con probabilidad \( \displaystyle\frac{1}{6} \) y el tercero con probabilidad \( \displaystyle\frac{1}{6} \). La probabilidad es por tanto \( \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}. \) Ahora, si tres números son diferentes, se pueden ordenar de \( 3!=6 \) formas, por tanto \( p=\displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}\cdot \displaystyle\frac{1}{6}\cdot 6=\displaystyle\frac{1}{9} \). La solución es por tanto \( 1-p=\displaystyle\frac{8}{9} \).

Sólo un detalle. En la pregunta original entiendo que pregunta por conteo de casos, no por probabilidades. Es decir la respuesta sería:

\( 6^3\cdot \dfrac{8}{9}=192 \)

o directamente con el conteo de Carlos:

\( 6^3-4\cdot 6=216-24=192 \)

Saludos.

26 Julio, 2021, 11:19 pm
Respuesta #8

ancape

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La solución de Fernando es correcta. Otra forma de verlo es calcular todos los casos favorables frente a \( 6^3 \) casos posibles. Para la probabilidad complementaria los casos favorables son \( (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6) \) y todos los que resultan de permutar estas cuatro ternas. Como cada una admite \( 6 \) permutaciones, en total hay \( 4\cdot 6 \) casos favorables, luego la probabilidad (complementaria) es \( 4\cdot 6 /6^3 = 1/9 \), tal y como ha calculado Fernando por otra vía.

 :aplauso: :aplauso: :aplauso:
Este razonamiento sí es correcto. El razonamiento de Fernando llega al mismo resultado pero creo que el camino es equivocado. Me llamó mucho la atención el producto \( \displaystyle\frac{2}{3}\displaystyle .\frac{1}{6}\displaystyle.\frac{1}{6}.6 \) pero, 2/3, 1/6, 1/6 son probabilidades y 6 no lo es. Multiplicar por seis creo que es equivalente a decir que la probabilidad de la suma es la suma de probabilidades.

¡¡Ojo!!. El resultado sólo es cierto si los tres dados pueden diferenciarse (parece que es lo que dice el enunciado original), si no es así, la probabilidad es \( 1-\displaystyle\frac{1}{14} \).


Saludos

26 Julio, 2021, 11:24 pm
Respuesta #9

Carlos Ivorra

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Este razonamiento sí es correcto.

"Éste sí" no. Éste sí y el otro sí también.

El razonamiento de Fernando llega al mismo resultado pero creo que el camino es equivocado.

No es equivocado.

Me llamó mucho la atención el producto \( \displaystyle\frac{2}{3}\displaystyle .\frac{1}{6}\displaystyle.\frac{1}{6}.6 \) pero, 2/3, 1/6, 1/6 son probabilidades y 6 no lo es. Multiplicar por seis creo que es equivalente a decir que la probabilidad de la suma es la suma de probabilidades.

En efecto, así es. Fernando ha calculado la probabilidad del suceso

\( S=\{(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6)\} \)

Y luego ha usado que la probabilidad del suceso que quiere calcular realmente es la unión disjunta de seis sucesos equiprobables a éste. Por lo que, en efecto, la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades.