Autor Tema: Funcional lineal

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25 Julio, 2021, 07:29 pm
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Tanjiro

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Sea $$x\neq 0$$ un vector de un espacio normado $$X$$. Sea $$Z=\left\{{\beta x:\beta\in\mathbb{R}}\right\}$$, verificar que $$h(\beta x)=\beta\left\|{x}\right\|$$ es un funcional lineal continuo. Hago lo siguiente:

$$h(y_1)+ h(y_2)= h(\beta x_1)+ h(\beta x_2)=\beta\left\|x_1\right\|+\beta\left\|x_2\right\|=\beta(\left\|x_1\right\|+\left\|x_2\right\|)$$ hasta aquí he llegado.

Solo tengo duda en esa verificación, la del escalar y continuo ya lo he hecho.

25 Julio, 2021, 08:45 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola Tanjiro. Supongo que el \( x \) en la definición de \( Z \) es un elemento de \( X \) y que \( h:Z\rightarrow\mathbb{R} \).

Nota que \( x \) es fijo en la definición de \( Z \), por lo que si \( y_1,y_2\in Z \), entonces existen reales \( \beta_1,\beta_2 \) tales que \( y_1=\beta_1x \)  e  \( y_2=\beta_2x \).

Se sigue que

    \( h(y_1+y_2)=h(\beta_1x+\beta_2x)=h((\beta_1+\beta_2)x)=(\beta_1+\beta_2)\|x\|=\beta_1\|x\|+\beta_2\|x\|=h(\beta_1x)+h(\beta_2x)=h(y_1)+h(y_2) \).

Con lo anterior claro, probar que \( h(\alpha y)=\alpha h(y) \) es fácil.

Para la continuidad, recuerda que lineal y continuo es equivalente a lineal y acotado.

25 Julio, 2021, 10:11 pm
Respuesta #2

Tanjiro

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Me ha quedado claro el ejercicio gracias. Ahora, para verificar que $$g(x+\alpha x_0)=\alpha$$ es lineal, donde $$Z=\left\{x+\alpha x_0:x\in Y,\ \alpha\in \mathbb R\right\}$$. Me quedaría:

$$g((x+\alpha_1x_0)+(x+\alpha_2x_0))=g(2x+(\alpha_1+\alpha_2)x_0)$$ pero no sé si pueda aplicar $$g$$ ya que hay un 2 acompañando a $$x$$.

26 Julio, 2021, 01:04 am
Respuesta #3

mathtruco

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Para próximos mensajes, cuando quieras preguntar un ejercicio nuevo hazlo en un hilo nuevo.

¿Seguro que has escrito bien el ejercicio? Tal como está \( g \) no es una función.

De cualquier modo, cometiste el mismo error que en el primer ejercicio. Si \( y_1\in Z \), entonces existen \( x_1\in Y \) y \( \alpha_1\in\mathbb{R} \) tales que \( y_1=x_1+\alpha_1 x_0 \).