Autor Tema: Corolario de Weiertrass

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24 Julio, 2021, 07:17 am
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Tanjiro

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Muestre que cualquier función continua de valor real definidas sobre un subconjunto compacto $$A\subseteq \mathbb R$$ es el límite uniforme sobre $$A$$ de una secuencia de polinomios.

La idea para resolver el ejercicio es utilizar el siguiente Teorema 2 de Stone-Weierstrass. Sean $$X$$ un espacio topológico compacto y $$\mathcal A$$ un álgebra de funciones continuas de valor real definidas sobre $$X$$ separando los puntos de $$X$$ y conteniendo la función de valor constante igual a 1. Entonces $$\mathcal A$$ es denso en $$\mathcal C(X)$$ con respecto a la métrica uniforme.

Algunas ideas para empezar?

24 Julio, 2021, 09:02 am
Respuesta #1

Masacroso

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Muestre que cualquier función continua de valor real definidas sobre un subconjunto compacto $$A\subseteq \mathbb R$$ es el límite uniforme sobre $$A$$ de una secuencia de polinomios.

La idea para resolver el ejercicio es utilizar el siguiente Teorema 2 de Stone-Weierstrass. Sean $$X$$ un espacio topológico compacto y $$\mathcal A$$ un álgebra de funciones continuas de valor real definidas sobre $$X$$ separando los puntos de $$X$$ y conteniendo la función de valor constante igual a 1. Entonces $$\mathcal A$$ es denso en $$\mathcal C(X)$$ con respecto a la métrica uniforme.

Algunas ideas para empezar?

¿Has entendido el teorema que nombras? ¿Sabes lo que significa que un subconjunto sea denso? Sólo te queda ver que el conjunto de polinomios es un álgebra que toma valores en \( \mathbb{R} \) con unidad y que separa puntos, y ya has acabado.

24 Julio, 2021, 11:17 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

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25 Julio, 2021, 06:51 am
Respuesta #3

Tanjiro

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Muestre que cualquier función continua de valor real definidas sobre un subconjunto compacto $$A\subseteq \mathbb R$$ es el límite uniforme sobre $$A$$ de una secuencia de polinomios.

La idea para resolver el ejercicio es utilizar el siguiente Teorema 2 de Stone-Weierstrass. Sean $$X$$ un espacio topológico compacto y $$\mathcal A$$ un álgebra de funciones continuas de valor real definidas sobre $$X$$ separando los puntos de $$X$$ y conteniendo la función de valor constante igual a 1. Entonces $$\mathcal A$$ es denso en $$\mathcal C(X)$$ con respecto a la métrica uniforme.

Algunas ideas para empezar?

¿Has entendido el teorema que nombras? ¿Sabes lo que significa que un subconjunto sea denso? Sólo te queda ver que el conjunto de polinomios es un álgebra que toma valores en \( \mathbb{R} \) con unidad y que separa puntos, y ya has acabado.

Podría escribir ese conjunto de polinomios esta formado por las funciones de tipo: $$\displaystyle\sum_{Finitas}{a_{i_1i_2...i_n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}}$$,    $$(i_k=0,1,...)$$. ? o hay alguna otra notación más entendible?

25 Julio, 2021, 06:58 am
Respuesta #4

Masacroso

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Podría escribir ese conjunto de polinomios esta formado por las funciones de tipo: $$\displaystyle\sum_{Finitas}{a_{i_1i_2...i_n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}}$$,    $$(i_k=0,1,...)$$. ? o hay alguna otra notación más entendible?

A ver, estamos en el espacio de funciones continuas \( C(A,\mathbb{R}) \), donde \( A\subset \mathbb{R} \) es compacto. Los polinomios en ese espacio de funciones son de una única variable, es decir, tienen la forma típica de \( p(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k \) para algún \( n\in \mathbb{N} \) y coeficientes \( a_0,\ldots ,a_n\in \mathbb{R} \).

25 Julio, 2021, 07:21 am
Respuesta #5

Tanjiro

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Sean $$f,g\in C(X)$$, $$P(f(x))=\displaystyle\sum_{k=0}^n{a_kf^k(x)}$$ y $$P(g(x))=\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_kg^k(x)}$$, debo verificar que $$\alpha P(f(x))+\beta P(g(x))$$ sea un polinomio e igual con el producto. Y luego, verificar que separa puntos?

25 Julio, 2021, 07:29 am
Respuesta #6

Masacroso

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Sean $$f,g\in C(X)$$, $$P(f(x))=\displaystyle\sum_{k=0}^n{a_kf^k(x)}$$ y $$P(g(x))=\displaystyle\sum_{k=1}^n{a_kg^k(x)}$$, debo verificar que $$\alpha P(f(x))+\beta P(g(x))$$ sea un polinomio e igual con el producto. Y luego, verificar que separa puntos?

No son polinomios cuyo dominio es un espacio de funciones, son polinomios cuyo dominio es \( A \). Tienes que verificar que el conjunto de polinomios \( p:A\to \mathbb{R} \) es un álgebra con unidad que separa puntos.

Añado: que separe puntos significa que para cualesquiera dos puntos \( x,y\in A \) con \( x\neq y \) existe un polinomio \( p:A\to \mathbb{R} \) tal que \( p(x)\neq p(y) \).

Corregido.

25 Julio, 2021, 07:45 am
Respuesta #7

Tanjiro

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ok gracias, ahora si todo esta claro. Ya me había confundido cuando habías escrito lo de la separación y te iba a volver a preguntar pero ya lo has corregido.