Autor Tema: Alguna manera de dividir estos polinomios.

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24 Julio, 2021, 04:47 am
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Gabe

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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Hola, espero que esten bien. El asunto es el siguiente: Se me pide determinar, en caso de que sea posible, todos los a y b pertenecientes a los reales que cumplan con la siguiente condición.

Que el polinomio \( P(x) \) divida a \( Q(x) \), siendo \( P(x)= x-2 \) y \( Q(x)=3x^3-11x^2+2ax+a \)

Ni bien lo ví me acordé que si el polinomio dividendo es de menor grado entonces no lo puedo efectuar, al menos así lo entiendo yo porque se termina la división cuando el grado del resto es menor al grado del polinomio divisor. Recordé tambien el metodo de Ruffini, pero para que este se cumpla tendría que el polinomio \( Q(x)=x-2 \). o sea al revéz. ¿Cómo procedo entonces? Lo resolví con calculadoras (apps) pero me dan un resultado diferente del que me da el libro.

Saludos y gracias  :)

24 Julio, 2021, 06:40 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

El polinomio dividendo es \( Q(x) \) no \( P(x) \). El problema está bien planteado.

Publica lo que intentaste, así podremos decirte si lo has hecho bien o corregir tus errores.

Debes encerrar tus expresiones matemáticas con las etiquetas tex. (Presionando el botón con el signo de sumatoria te escribe estas etiquetas)

Estudia el tutorial de LaTeX

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

24 Julio, 2021, 07:55 am
Respuesta #2

Gabe

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Hola

El polinomio dividendo es \( Q(x) \) no \( P(x) \). El problema está bien planteado.

Publica lo que intentaste, así podremos decirte si lo has hecho bien o corregir tus errores.

Debes encerrar tus expresiones matemáticas con las etiquetas tex. (Presionando el botón con el signo de sumatoria te escribe estas etiquetas)

Estudia el tutorial de LaTeX

Saludos

Hola  :) . Basicamente apliqué Ruffini, pero lo que me pide es hallar a, así que estoy viendo quizás si con un sistema de ecuaciones se resuelve. No publico lo que hice porque el problema apunta a otro lado, no logré todavía hallar el a perteneciente a los reales que cumpla con la división.

PD: Voy a aprender a usar el Latex.

Saludos.

24 Julio, 2021, 08:51 am
Respuesta #3

feriva

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Hola  :) . Basicamente apliqué Ruffini, pero lo que me pide es hallar a,


Tienes que hallar R(x) tal que \( Q(x)=P(x)\cdot R(x)
  \), o sea

\( 3x^{3}-11x^{2}+2ax+a=(x-2)\cdot R(x)
  \)

Si x=2, entonces \( 3x^{3}-11x^{2}+2ax+a=(2-2)R(x)=0
  \).

Es decir, aplicando Ruffini y usando la raíz 2 el resto tiene que ser cero; te saldrá una sencilla ecuación con la que podrás saber el valor de “a”...
 
Spoiler
“Aquí está el saber, quien tiene inteligencia calcule el número de la bestia, que su número es de un hombre, y el número de la bestia...” esto lo decía porque al hacer la ecuación he cambiado un signo más por menos y me salía 6.66... pero no, con el signo bien no es eso
[cerrar]

Saludos.

26 Julio, 2021, 03:24 am
Respuesta #4

Gabe

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Hola  :) . Basicamente apliqué Ruffini, pero lo que me pide es hallar a,


Tienes que hallar R(x) tal que \( Q(x)=P(x)\cdot R(x)
  \), o sea

\( 3x^{3}-11x^{2}+2ax+a=(x-2)\cdot R(x)
  \)

Si x=2, entonces \( 3x^{3}-11x^{2}+2ax+a=(2-2)R(x)=0
  \).

Es decir, aplicando Ruffini y usando la raíz 2 el resto tiene que ser cero; te saldrá una sencilla ecuación con la que podrás saber el valor de “a”...
 
Spoiler
“Aquí está el saber, quien tiene inteligencia calcule el número de la bestia, que su número es de un hombre, y el número de la bestia...” esto lo decía porque al hacer la ecuación he cambiado un signo más por menos y me salía 6.66... pero no, con el signo bien no es eso
[cerrar]

Saludos.

Hola feriva, muchas gracias por tu respuesta me fué de mucha ayuda. Dí con la respuesta ni bien te leí, me preguntaba a que apuntabas con la cita bíblica, que bueno que lo aclaraste. Desarrollé el ejercicio en una hoja de papel , pero por si las dudas dejo la respuesta.

a= 4

Saludos, que estés bien. :)

26 Julio, 2021, 05:27 pm
Respuesta #5

feriva

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Hola feriva, muchas gracias por tu respuesta me fué de mucha ayuda. Dí con la respuesta ni bien te leí, me preguntaba a que apuntabas con la cita bíblica, que bueno que lo aclaraste. Desarrollé el ejercicio en una hoja de papel , pero por si las dudas dejo la respuesta.

a= 4

Saludos, que estés bien. :)

Me alegro de que lo sacaras enseguida; ya suponía yo que te iba a ser muy fácil.

Fue un error tonto, un despiste. Al final, en la suma, tenemos \( a
  \) y \( 4a-20
  \), y en vez de igualar la suma de esos dos sumandos a cero, yo, sobre el papel, primero los igualé entre sí \( a=4a-20
  \) (lo cual estaría bien con el signo cambiado, que se me olvidó; así, por ejemplo \( -a=4a-20
  \)). Y al hacerlo de esa forma, claro, se tiene \( 3a=20
  \) de donde \( a=\dfrac{20}{3}=6,66...
  \).

Me di cuenta después y quise editar para que supieras por qué lo había dicho.

Estoy bien, gracias (todavía no he perdido la cabeza del todo :) ).

Saludos.

26 Julio, 2021, 07:22 pm
Respuesta #6

robinlambada

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Hola.
Hola, espero que esten bien. El asunto es el siguiente: Se me pide determinar, en caso de que sea posible, todos los a y b pertenecientes a los reales que cumplan con la siguiente condición.

Que el polinomio \( P(x) \) divida a \( Q(x) \), siendo \( P(x)= x-2 \) y \( Q(x)=3x^3-11x^2+2ax+a \)

Ni bien lo ví me acordé que si el polinomio dividendo es de menor grado entonces no lo puedo efectuar, al menos así lo entiendo yo porque se termina la división cuando el grado del resto es menor al grado del polinomio divisor. Recordé tambien el metodo de Ruffini, pero para que este se cumpla tendría que el polinomio \( Q(x)=x-2 \). o sea al revéz. ¿Cómo procedo entonces? Lo resolví con calculadoras (apps) pero me dan un resultado diferente del que me da el libro.

Saludos y gracias  :)
Como bien te dicen se puede resolver dividiendo por Ruffini e imponiendo que el resto sea cero.

Pero otra forma equivalente es aplicar el teorema del resto. (El teorema del resto dice: Si dividimos un polinomio \( Q(x) \) entre el binomio \( P(x)=(x-b) \), el resto de la división es igual al valor numérico del polinomio \( Q(b) \) )

Entonces si queremos que el resto de la división de \( Q(x) \) entre \( P(x) \), sea cero, basta imponer que \( Q(b)=0 \), con \( b=2 \)

Por ello \( Q(2)=3\cdot{}2^3-11\cdot{}2^2+2a2+a=0\Leftrightarrow{}24-44+4a+4=0\Leftrightarrow{}-20+5a=0\Leftrightarrow{}a=\dfrac {20}5=4 \)

Saludos.

P.D.: Normalmente se utiliza la letra "\( a \)" para denotar la raíz del polinomio y también suele ser habitual llamar \( P(x) \) al dividendo y \( Q(x) \) al divisor, pero son solo  notación, es decir \( P(x)=Q(x)\cdot{}C(x) \) entonces si \( Q(x)=(x-a)\Leftrightarrow{}P(a)=0 \) No lo he utilizado para no liarte y que te confundas con las variables y polinomios.

La razón es muy fácil de ver pues si \( P(x)=(x-a)\cdot{}C(x)\Leftrightarrow{}P(a)=(a-a)C(a)=0\cdot{}C(a)=0 \)
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

01 Agosto, 2021, 07:19 am
Respuesta #7

Gabe

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Hola.
Hola, espero que esten bien. El asunto es el siguiente: Se me pide determinar, en caso de que sea posible, todos los a y b pertenecientes a los reales que cumplan con la siguiente condición.

Que el polinomio \( P(x) \) divida a \( Q(x) \), siendo \( P(x)= x-2 \) y \( Q(x)=3x^3-11x^2+2ax+a \)

Ni bien lo ví me acordé que si el polinomio dividendo es de menor grado entonces no lo puedo efectuar, al menos así lo entiendo yo porque se termina la división cuando el grado del resto es menor al grado del polinomio divisor. Recordé tambien el metodo de Ruffini, pero para que este se cumpla tendría que el polinomio \( Q(x)=x-2 \). o sea al revéz. ¿Cómo procedo entonces? Lo resolví con calculadoras (apps) pero me dan un resultado diferente del que me da el libro.

Saludos y gracias  :)
Como bien te dicen se puede resolver dividiendo por Ruffini e imponiendo que el resto sea cero.

Pero otra forma equivalente es aplicar el teorema del resto. (El teorema del resto dice: Si dividimos un polinomio \( Q(x) \) entre el binomio \( P(x)=(x-b) \), el resto de la división es igual al valor numérico del polinomio \( Q(b) \) )

Entonces si queremos que el resto de la división de \( Q(x) \) entre \( P(x) \), sea cero, basta imponer que \( Q(b)=0 \), con \( b=2 \)

Por ello \( Q(2)=3\cdot{}2^3-11\cdot{}2^2+2a2+a=0\Leftrightarrow{}24-44+4a+4=0\Leftrightarrow{}-20+5a=0\Leftrightarrow{}a=\dfrac {20}5=4 \)

Saludos.

P.D.: Normalmente se utiliza la letra "\( a \)" para denotar la raíz del polinomio y también suele ser habitual llamar \( P(x) \) al dividendo y \( Q(x) \) al divisor, pero son solo  notación, es decir \( P(x)=Q(x)\cdot{}C(x) \) entonces si \( Q(x)=(x-a)\Leftrightarrow{}P(a)=0 \) No lo he utilizado para no liarte y que te confundas con las variables y polinomios.

La razón es muy fácil de ver pues si \( P(x)=(x-a)\cdot{}C(x)\Leftrightarrow{}P(a)=(a-a)C(a)=0\cdot{}C(a)=0 \)

Me había dado un descanso con el tema de los polinomios, me había enroscado demasiado en ello. Parece mentira que haya hecho mucho pero de las 17 páginas que trae el capítulo de polinómios llegué hasta la página 11 por mi cuenta, creo que no esta tan mal jaja, adema´s estuve revisando el teorema de Gauss y alguna cosa más. Por eso tardé en responder, te super agradezco la respuesta. Siendo honesto, las demás respuestas no estan para nada mal (obviamente) pero tu respuesta va más de la mano con lo que el libro posteriormente me había aclarado y yo no lo cazaba.

Saludos  :)

01 Agosto, 2021, 03:00 pm
Respuesta #8

robinlambada

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Hola.
Hola, espero que esten bien. El asunto es el siguiente: Se me pide determinar, en caso de que sea posible, todos los a y b pertenecientes a los reales que cumplan con la siguiente condición.

Que el polinomio \( P(x) \) divida a \( Q(x) \), siendo \( P(x)= x-2 \) y \( Q(x)=3x^3-11x^2+2ax+a \)

Ni bien lo ví me acordé que si el polinomio dividendo es de menor grado entonces no lo puedo efectuar, al menos así lo entiendo yo porque se termina la división cuando el grado del resto es menor al grado del polinomio divisor. Recordé tambien el metodo de Ruffini, pero para que este se cumpla tendría que el polinomio \( Q(x)=x-2 \). o sea al revéz. ¿Cómo procedo entonces? Lo resolví con calculadoras (apps) pero me dan un resultado diferente del que me da el libro.

Saludos y gracias  :)
Como bien te dicen se puede resolver dividiendo por Ruffini e imponiendo que el resto sea cero.

Pero otra forma equivalente es aplicar el teorema del resto. (El teorema del resto dice: Si dividimos un polinomio \( Q(x) \) entre el binomio \( P(x)=(x-b) \), el resto de la división es igual al valor numérico del polinomio \( Q(b) \) )

Entonces si queremos que el resto de la división de \( Q(x) \) entre \( P(x) \), sea cero, basta imponer que \( Q(b)=0 \), con \( b=2 \)

Por ello \( Q(2)=3\cdot{}2^3-11\cdot{}2^2+2a2+a=0\Leftrightarrow{}24-44+4a+4=0\Leftrightarrow{}-20+5a=0\Leftrightarrow{}a=\dfrac {20}5=4 \)

Saludos.

P.D.: Normalmente se utiliza la letra "\( a \)" para denotar la raíz del polinomio y también suele ser habitual llamar \( P(x) \) al dividendo y \( Q(x) \) al divisor, pero son solo  notación, es decir \( P(x)=Q(x)\cdot{}C(x) \) entonces si \( Q(x)=(x-a)\Leftrightarrow{}P(a)=0 \) No lo he utilizado para no liarte y que te confundas con las variables y polinomios.

La razón es muy fácil de ver pues si \( P(x)=(x-a)\cdot{}C(x)\Leftrightarrow{}P(a)=(a-a)C(a)=0\cdot{}C(a)=0 \)

Me había dado un descanso con el tema de los polinomios, me había enroscado demasiado en ello. Parece mentira que haya hecho mucho pero de las 17 páginas que trae el capítulo de polinómios llegué hasta la página 11 por mi cuenta, creo que no esta tan mal jaja, además estuve revisando el teorema de Gauss y alguna cosa más. Por eso tardé en responder, te super agradezco la respuesta. Siendo honesto, las demás respuestas no estan para nada mal (obviamente) pero tu respuesta va más de la mano con lo que el libro posteriormente me había aclarado y yo no lo cazaba.

Saludos  :)
Me alegro que te guste mi respuesta y te sea útil, en efecto es otra manera de enfocarlo (algo más rápida y sencilla) solo se necesita conocer el teorema del resto en la división de polinomios.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.