Autor Tema: Cálculo de volumen

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24 Julio, 2021, 02:50 am
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alucard

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Hola me piden calcular el volumen de las siguiente región

\( x^2+y^2+z\leq{5} \)

delimitado por

\( z=1\quad z=4 \)

Planteo la siguiente integral una vez pasada a coordenadas cilíndricas

\( V=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{1}^{4}\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{5-z}}r drdzdt=\dfrac{15}{2}\pi \)

Algo se me escapa porque en la respuesta figura que el volumen es \( V=\dfrac{9}{2}\pi \)

Pero si no me equivoco la integral para ese resultado seria

\( V=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{1}^{2}\displaystyle\int_{1}^{5-r^2}r dzdrdt=\dfrac{9}{2}\pi \)

para mi es la primera integral y no la segunda  , alguna opinión ?

editado
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

24 Julio, 2021, 03:16 am
Respuesta #1

delmar

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Hola alucard

Es correcto el integral que has planteado y correcta la respuesta, es el volumen de un tronco de un paraboloide invertido

Saludos

25 Julio, 2021, 02:03 pm
Respuesta #2

alucard

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Gracias, hace diferencia en el resultado la edición que hice ?
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

25 Julio, 2021, 05:06 pm
Respuesta #3

Abdulai

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...
Pero si no me equivoco la integral para ese resultado seria

\( V=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{1}^{2}\displaystyle\int_{1}^{5-r^2}r dzdrdt=\dfrac{9}{2}\pi \)
...

Ahí el radio varía entre \( 1 \) y \( 2 \) --> Al volumen le está faltando un cilindro central de \( r=1 \) y altura \( 3 \).

\( \dfrac{9\pi}{2}+\underbrace{3\pi}_{Vcilindro}=\dfrac{15\pi}{2} \) 

Igual a la primer integral. ¡Como debe ser!  :)