Autor Tema: Integral de variable aleatoria

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23 Julio, 2021, 10:20 pm
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javoros

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Hola!

Me he encontrado con este problema pero no he logrado entender la notación lo cual me complica la resolución.

Sea  \( X \) e  \( Y \) variables aleatorias independientes tal que \(  X  \) es integrable. Si  \(   A \in B(\mathbb{R})  \), pruebe que:

\(   \int_{\{ Y \in A\}}XdP = E(X) P_Y(A) \), donde \(  P_Y(A)\  \) es la ley de \(  Y \)

23 Julio, 2021, 10:58 pm
Respuesta #1

geómetracat

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¿Cuál es la notación que no entiendes?

Aquí la idea es que
\(   \int_{\{ Y \in A\}}XdP = \int_\Omega X 1_{\{Y \in A\}}dP=E[X1_{\{Y\in A\}}] \), donde \[ \Omega \] es el dominio común de \[ X \] e \[ Y \], y \[ 1_{\{Y\in A\}} \] es una función indicatriz. Ahora, como \[ X \] e \[ Y \] son independientes, también lo son \[ X \] y \[ 1_{\{Y\in A\}} \] también son independientes, y de aquí ya no te debería ser muy difícil concluir.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Julio, 2021, 11:08 pm
Respuesta #2

javoros

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Muchas gracias!

La parte que no entendía era sobre como pasar de la Integral en omega hacia la esperanza, tampoco sabia que la función indicadora de una variable era independiente y la variable aleatoria era independiente a otra,

Muchas gracias!

24 Julio, 2021, 12:03 am
Respuesta #3

geómetracat

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Muchas gracias!

La parte que no entendía era sobre como pasar de la Integral en omega hacia la esperanza, tampoco sabia que la función indicadora de una variable era independiente y la variable aleatoria era independiente a otra,

Muchas gracias!
De nada. Para deducir que \[ X \] y \[ 1_{\{Y\in A\}} \] son independientes (supuesto que lo son \[ X \] e \[ Y \]) se usa el siguiente teorema general: si \[ X,Y \] son v.a. independientes y \[ f,g:\Bbb R \to \Bbb R \] son funciones medibles cualesquiera, entonces \[ f(X) \] y \[ g(Y) \] son v.a. independientes. Aquí se aplica tomando \[ f \] como la identidad (de manera que \[ f(X)=X \]) y \[ g(y)=1_A(y) \] (la función indicatriz de \[ A \]).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)