Autor Tema: Limites para la aplicación de la definición de ε-δ

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

26 Julio, 2021, 04:31 am
Respuesta #10

franma

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 740
  • País: uy
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas gomas,

Citar
\( |x+2|=|x-2+4|\leq |x-2|+4<\delta+4<1+4=5 \).
Ok , pues entonces podrías explicar mas detallado?

\( |x+2|=|x-2+4| \)

Voy a asumir que en este primer paso no hay dudas, es solamente una pequeña manipulación para que nos aparezca \( x-2 \).

\( |\color{red}{x-2}\color{black}{}+\color{blue}{}4\color{black}{}|\leq |x-2|+4 \)

Aquí utilizamos la conocida desigualdad triangular \( |\color{red}{}a\color{black}{}+\color{blue}{}b|\color{black}{}\leq |a|+|b| \) para poder quedarnos con el \( x-2 \) "separado".

\( |x-2|+4<\delta+4 \)

Aquí se utilizo nuestra hipótesis \( |x-2| < \delta \)

\( \delta+4<1+4=5 \)

Finalmente terminamos utilizando el hecho de que elegimos un \( \delta \) de tal manera que \( 0<\delta<1 \)

Si no se entiende algo pregunta nuevamente.

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

26 Julio, 2021, 04:54 am
Respuesta #11

gomas

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 40
  • País: do
  • Karma: +0/-0
Ya! muy bien entendido, thank you so much !  :)

26 Julio, 2021, 05:15 am
Respuesta #12

gomas

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 40
  • País: do
  • Karma: +0/-0
Citar
\( |x-2|+4<\delta+4 \)

Disculpa , aquí porque el \( +4 \) dos veces ?

26 Julio, 2021, 05:56 am
Respuesta #13

franma

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 740
  • País: uy
  • Karma: +2/-0
  • Sexo: Masculino
Citar
\( |x-2|+4<\delta+4 \)

Disculpa , aquí porque el \( +4 \) dos veces ?

El +4 no aparece "dos veces" , se continua la cadena de desigualdades sustituyendo \( |x-2| \) por \( \delta \) ya que sabemos por hipótesis que \( |x-2|<\delta \). De donde se deduce \( |x-2|+4<\delta+4 \).

Fíjate para ejemplificar, sabemos que \( 2<3 \) sin embargo yo no puedo afirmar que \( 2+5<3 \) lo que si puedo afirmar es que \( 2+5<3+5 \).

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

26 Julio, 2021, 01:57 pm
Respuesta #14

gomas

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 40
  • País: do
  • Karma: +0/-0
Sí claro, es que son detalles que se me olvidan ;) estoy en escuela intermedia y necesito revisar eso y otros antes de comenzar la secundaria, gracias por la aclaración.  :)

05 Agosto, 2021, 02:10 am
Respuesta #15

gomas

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 40
  • País: do
  • Karma: +0/-0
Citar
\( \delta+4<1+4=5 \)

Finalmente terminamos utilizando el hecho de que elegimos un \( \delta \) de tal manera que \( 0<\delta<1 \)

Hola,
  Por que se puso 1 en \( \delta \) para asi tener  \( \delta+4<1+4=5 \) ?

05 Agosto, 2021, 02:30 am
Respuesta #16

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,873
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Por que se puso 1 en \( \delta \) para asi tener  \( \delta+4<1+4=5 \) ?

En este tipo de argumentos, la guía está en la expresión a la que queremos llegar. Hay que razonar de atrás hacia adelante. Aunque es el último paso en la demostración, en lo primero en lo que uno tiene que fijarse es en esto:

\( |f(x)-L|=|x-2|\,|x+2| \).

Sabemos que podemos tomar \( |x-2| \) menor que \( \delta \), tan pequeño como queramos. Lo que nos molesta ahí para llegar que \( |f(x)-L|<0.01 \) es la parte \( |x+2| \), y la idea es que no necesitamos que esa parte se haga tan pequeña como queramos, sino que nos basta que no se haga demasiado grande. Nos bastaría llegar a algo del estilo de

\( |f(x)-L|=|x-2|\,|x+2|<1\,000 |x-2| \)

y con eso ya podríamos elegir \( \delta \) para que esta expresión se haga menor que \( 0.01 \). Me da igual un \( 1\,000 \) que cualquier otro número. Lo importante es llegar a algo donde ya no esté la \( x \).

Y la forma de quitar la \( x \) en \( |x+2| \) es la cadena de desigualdades

\( |x+2|=|x-2+4|\leq |x-2|+4<\delta+4<1+4=5 \).

El primer truco nos separa la \( x \) agrupada con el \( 2 \), porque eso es precisamente lo que sabemos hacer pequeño, menor que \( \delta \), y cuando lo hemos convertido en \( \delta+4 \), cambiamos \( \delta \) por \( 1 \) porque eso es precisamente nuestro objetivo, llegar a un número que no dependa de nada, porque así ya tenemos una expresión de la forma

\( |f(x)-L|=|x-2|\,|x+2|<5 |x-2| \)

(nos ha salido un \( 5 \) en vez de un \( 1\,000 \), mejor que mejor) y con eso ya sabemos acabar. Ahora que donde estaba el \( |x+2| \) ya no hay ni \( x \), ni \( \delta \) ni nada más que un número, ya podemos elegir tranquilamente \( \delta \) para que \( 5|x-2|<5\delta\leq 0.01 \). Para que se cumpla la última desigualdad sólo necesitamos que \( \delta = 0.01/5 \). Si en esta expresión final, en vez de un \( 5 \), tuviéramos algo que dependiera de \( \delta \) o de \( x \), no tendríamos un valor concreto de \( \delta \), que es lo que necesitamos. Por eso había que eliminar todo lo que no sean números fijos.


05 Agosto, 2021, 05:26 pm
Respuesta #17

gomas

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 40
  • País: do
  • Karma: +0/-0

   
Citar
  (nos ha salido un 5 en vez de un 1000, mejor que mejor) y con eso ya sabemos acabar. Ahora que donde estaba el |x+2| ya no hay ni x, ni δ ni nada más que un número, ya podemos elegir tranquilamente δ para que 5|x−2|<5δ≤0.01. Para que se cumpla la última desigualdad sólo necesitamos que δ=0.01/5. Si en esta expresión final, en vez de un 5, tuviéramos algo que dependiera de δ o de x, no tendríamos un valor concreto de δ, que es lo que necesitamos. Por eso había que eliminar todo lo que no sean números fijos.

Hola Carlos ,
    Entonces aquí en :  \( 5|x−2|<5δ≤0.01.  \) , el \( \delta \) se puso  por \( \left |{x-2}\right | \) , para que se haga \( 5δ \) ?

05 Agosto, 2021, 05:29 pm
Respuesta #18

Carlos Ivorra

  • Administrador
  • Mensajes: 9,873
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Página web personal
Entonces aquí en :  \( 5|x−2|<5δ≤0.01.  \) , el \( \delta \) se puso  por \( \left |{x-2}\right | \) , para que se haga \( 5δ \) ?

Claro. Tienes dos factores:

\( |f(x)-L|=|x-2||x+2| \)

Del primero sabes que \( |x-2|<\delta \) y del segundo hemos obtenido que \( |x+2|<5 \), con lo que, uniendo las dos cosas, obtenemos que

\( |f(x)-L|=|x-2||x+2|<5\delta \).

05 Agosto, 2021, 11:03 pm
Respuesta #19

gomas

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 40
  • País: do
  • Karma: +0/-0