Autor Tema: Limites para la aplicación de la definición de ε-δ

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23 Julio, 2021, 08:12 pm
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gomas

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   Tratando de resolver este  problema de este tema y dice  :
Calcular el limite \( L  \) luego hallar un  \( \color{black}\delta>0 \) tal que  \( \left |{f(x)-L}\right |<0,01 \) siempre que   \( 0<\left |{x-c}\right |<\delta \).

Problema :
\( \displaystyle\lim_{x\to{2}}{(x^2-3)}=1 \)
\( L=1 , \left |{x^2-3-1}\right | = \left |{x^2-4}\right |  \) y que sige ahora factorizar ?\( = (x-2)(x+2) \)  , aquí me he quedado.


23 Julio, 2021, 08:29 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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   Tratando de resolver este  problema de este tema y dice  :
Calcular el limite \( L  \) luego hallar un  \( \color{black}\delta>0 \) tal que  \( \left |{f(x)-L}\right |<0,01 \) siempre que   \( 0<\left |{x-c}\right |<\delta \).

Problema :
\( \displaystyle\lim_{x\to{2}}{(x^2-3)}=1 \)
\( L=1 , \left |{x^2-3-1}\right | = \left |{x^2-4}\right |  \) y que sige ahora factorizar ?\( = (x-2)(x+2) \)  , aquí me he quedado.

En efecto, la factorización que propones ayuda: queremos encontrar un \( \delta>0 \) tal que si \( 0<|x-2|<\delta \), entonces \( |x-2|\,|x+2|<0.01 \).

La idea es que con \( \delta \) podemos hacer que el primer factor se haga todo lo pequeño que queramos,  y el problema es qué hacemos con el segundo factor. Y el truco es que, como \( \delta \) se puede tomar todo lo pequeño que queramos, en particular podemos tomarlo de modo que \( 0<\delta <1 \), y con esta condición podemos asegurar que

\( |x+2|=|x-2+{\color{red}4}|\leq |x-2|+{\color{red}4}<\delta+{\color{red}4}<1+{\color{red}4=5} \).

Es decir, podemos asegurar que el segundo factor no se pase de \( \color{red}5 \), con lo que en total tenemos que

\( |f(x)-L|=|x-2|\,|x+2|\leq {\color{red}5}|x-2| \).

Y ahora ya estamos en una situación parecida a la del último problema que preguntaste. ¿Sabes acabar?

Si algo no está claro, no tienes más que preguntar.

Estos trucos pueden parecer desalentadores, pero hay que pensar que ésta no es la forma natural de tratar con límites. Lo natural es demostrar algunas propiedades generales sobre el cálculo de límites (a partir de la definición \( \epsilon-\delta \)) y luego calcular los límites a partir de esas propiedades, no mediante la definición. A mi juicio, estos "trucos" se entienden mejor analizando las demostraciones generales que tratando con ejemplos concretos. Quiero decir que si alguien está familiarizado con esas demostraciones, verá fácil particularizar las ideas empleadas a casos concretos como éste, mientras que si uno se encuentra primero con estos ejemplos, es fácil que acabe pensando que estos trucos son juegos de prestidigitación que es imposible que se le ocurran a uno.

Por ejemplo, creo que alguien que conozca la demostración general de que el límite de un producto es igual al producto de los límites verá con naturalidad el "truco" que acabo de emplear. Te digo esto como orientación, para que no te desanimes si te parece que esto es "magia".

23 Julio, 2021, 09:16 pm
Respuesta #2

gomas

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23 Julio, 2021, 09:29 pm
Respuesta #3

gomas

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Así que con \( L=1 \),  supongo que \( 1<x<3 \) , entonces tomar \( \delta=\displaystyle\frac{0.01}{5}=0.002 \), esta bien ?

23 Julio, 2021, 09:30 pm
Respuesta #4

robinlambada

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Hola.
   Tratando de resolver este  problema de este tema y dice  :
Calcular el limite \( L  \) luego hallar un  \( \color{black}\delta>0 \) tal que  \( \left |{f(x)-L}\right |<0,01 \) siempre que   \( 0<\left |{x-c}\right |<\delta \).

Problema :
\( \displaystyle\lim_{x\to{2}}{(x^2-3)}=1 \)
\( L=1 , \left |{x^2-3-1}\right | = \left |{x^2-4}\right |  \) y que sige ahora factorizar ?\( = (x-2)(x+2) \)  , aquí me he quedado.

En efecto, la factorización que propones ayuda: queremos encontrar un \( \delta>0 \) tal que si \( 0<|x-2|<\delta \), entonces \( |x-2|\,|x+2|<0.01 \).

La idea es que con \( \delta \) podemos hacer que el primer factor se haga todo lo pequeño que queramos,  y el problema es qué hacemos con el segundo factor. Y el truco es que, como \( \delta \) se puede tomar todo lo pequeño que queramos, en particular podemos tomarlo de modo que \( 0<\delta <1 \), y con esta condición podemos asegurar que

\( |x+2|=|x-2+\color{red}2\color{black}|\leq |x-2|+2<\delta+2<1+2=3 \).

Es decir, podemos asegurar que el segundo factor no se pase de \( 3 \), con lo que en total tenemos que

\( |f(x)-L|=|x-2|\,|x+2|\leq 3|x-2| \).

Y ahora ya estamos en una situación parecida a la del último problema que preguntaste. ¿Sabes acabar?

Si algo no está claro, no tienes más que preguntar.

Estos trucos pueden parecer desalentadores, pero hay que pensar que ésta no es la forma natural de tratar con límites. Lo natural es demostrar algunas propiedades generales sobre el cálculo de límites (a partir de la definición \( \epsilon-\delta \)) y luego calcular los límites a partir de esas propiedades, no mediante la definición. A mi juicio, estos "trucos" se entienden mejor analizando las demostraciones generales que tratando con ejemplos concretos. Quiero decir que si alguien está familiarizado con esas demostraciones, verá fácil particularizar las ideas empleadas a casos concretos como éste, mientras que si uno se encuentra primero con estos ejemplos, es fácil que acabe pensando que estos trucos son juegos de prestidigitación que es imposible que se le ocurran a uno.

Por ejemplo, creo que alguien que conozca la demostración general de que el límite de un producto es igual al producto de los límites verá con naturalidad el "truco" que acabo de emplear. Te digo esto como orientación, para que no te desanimes si te parece que esto es "magia".
Tienes una pequeña errata , lo que marqué en rojo.

Realmente sería:

\( |x+2|=|x-2+4|\leq |x-2|+4<\delta+4<1+4=5 \).


Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

23 Julio, 2021, 09:33 pm
Respuesta #5

robinlambada

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Así que con \( L=1 \),  supongo que \( 1<x<3 \) , entonces tomar \( \delta=\displaystyle\frac{0.01}{5}=0.002 \), esta bien ?

Si, está bien.

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

24 Julio, 2021, 12:23 am
Respuesta #6

Carlos Ivorra

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Tienes una pequeña errata , lo que marqué en rojo.

Corregido. Gracias.  :)

26 Julio, 2021, 02:41 am
Respuesta #7

gomas

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Te digo esto como orientación, para que no te desanimes si te parece que esto es "magia".
:) Tal vez para ti sea mágico pero no, para mí no parece mágico   ;D.

26 Julio, 2021, 03:06 am
Respuesta #8

Carlos Ivorra

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:) Tal vez para ti sea mágico pero no, para mí no parece mágico   ;D.

No, a mí no me parece magia, al contrario, todo es muy natural, pero puede no parecérselo así a alguien que no lo vea desde la perspectiva adecuada, y vea como "ideas felices" lo que en realidad son técnicas habituales. Como no sé tu grado de familiaridad con el tema, quise prevenirte por si te parecía desalentador que se te hubiera tenido que ocurrir acotar un factor antes de elegir el \( \delta \) adecuado, pero si no es el caso, mejor.

26 Julio, 2021, 04:15 am
Respuesta #9

gomas

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\( |x+2|=|x-2+4|\leq |x-2|+4<\delta+4<1+4=5 \).
Ok , pues entonces podrías explicar mas detallado?