Autor Tema: Ecuación diferencial "regla del cociente ideal".

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24 Julio, 2021, 06:45 pm
Respuesta #10

franma

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Buenas a todos,

Primero que todo perdónenme por haberme precipitado y saltado a conclusiones.
Con estos últimos intercambios ya me perdí un poco, seguiré investigando en lo que pueda, si encuentro algo significativo lo compartiré, de lo contrario continuo leyendo con entusiasmo el hilo.

Gracias a todos por compartir :)

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

24 Julio, 2021, 08:36 pm
Respuesta #11

Masacroso

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Buenas a todos,

Primero que todo perdónenme por haberme precipitado y saltado a conclusiones.
Con estos últimos intercambios ya me perdí un poco, seguiré investigando en lo que pueda, si encuentro algo significativo lo compartiré, de lo contrario continuo leyendo con entusiasmo el hilo.

Gracias a todos por compartir :)

Saludos,
Franco.

Lo que ocurre, y es lo que decía Luis implícitamente, es que dadas dos funciones cualesquiera \( f_1,f_2: X\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R} \) donde al menos una de ellas nunca es cero siempre existe una función \( f_3:X\to \mathbb{R} \) tal que \( f_1=f_2\cdot f_3 \). Entonces siempre existe una relación \( g'=k\cdot g^2 \), la cual define una ecuación diferencial con solución general \( g=\frac1{-\int k} \).

Entonces la solución que se halle a la ecuación diferencial original, utilizando tal resultado, va a ser tan general como la hallada \( f=g \exp\left(\int \frac{g'}{g-g'}\right) \). Luego he observado que esto que había escrito en mi segunda respuesta

\( \displaystyle{
f'=fk\frac{g^2}{g-1}
} \)

está mal. La derivación correcta sería así

\( \displaystyle{
f'=k(f'g-fg')\iff f'(1-kg)=-kg'f \iff \frac{f'}{f}=\frac{kg'}{kg-1}=\frac{(g')^2}{gg'-g^2}
} \)

Es decir: es lo mismo tomar un camino u otro, es lo mismo utilizar la relación \( g'=kg^2 \) que no usarla y simplemente despejar \( f' \) de la ecuación original \( \tfrac{f'}{g'}=\tfrac{f'g-fg'}{g^2} \). Espero que ahora todo se entienda un poco mejor.

Corregido.

24 Julio, 2021, 09:05 pm
Respuesta #12

franma

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Buenas,

Creo que si se entiende mejor ahora, gracias por explicarlo.

Una ultima pregunta, probando algunas funciones se me dio por intentar con \( e^x \) ¿podríamos afirmar que no tenemos solución cuando \( g=e^x \)?
Porque en la integral nos queda una división entre 0.

Saludos,
Franco.
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25 Julio, 2021, 06:36 am
Respuesta #13

Masacroso

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Buenas,

Creo que si se entiende mejor ahora, gracias por explicarlo.

Una ultima pregunta, probando algunas funciones se me dio por intentar con \( e^x \) ¿podríamos afirmar que no tenemos solución cuando \( g=e^x \)?
Porque en la integral nos queda una división entre 0.

Saludos,
Franco.

En ese caso hay que ir a la ecuación diferencial original, lo que nos deja

\( \displaystyle{
f'=f'-f\implies f=0
} \)

Es decir, en ese caso la solución es la función constante cero. Dicho de otro modo: si en algún paso, para resolver una ecuación (diferencial o no) dividimos por una variable entonces se está asumiendo implícitamente que esa variable siempre va a ser distinta de cero. Si suponemos que determinada variable va a valer cero entonces no podemos dividir por esa variable y la ecuación se resuelve asumiendo que esa variable vale cero en pasos anteriores a tal división.

25 Julio, 2021, 06:47 am
Respuesta #14

franma

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Buenas Masacroso,

Perfecto! Creo que ese seria un caso particular (?). Ya que es la única función que cumple \( g'=g \), la cual es la única manera de anular el denominador.

Agrego: Ha sido aclarado en tu ultimo mensaje, se ve que cuando lo leí no estaba terminado.
Gracias :),

Saludos,
Franco.
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