Autor Tema: Función definida por una integral definida

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23 Julio, 2021, 12:53 am
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alucard

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Hola tengo el siguiente enunciado 

Para la función

\( f(x)=\begin{cases}{\ln x}&\text{si}& 1\leq{x}\leq{e}\\-1 & \text{si}& e<x\leq{4}\end{cases} \)

Se define la función integral F

\( F[1,4]\to R/ F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x} f(z)dz \)

Analice y justifique adecuadamente

a) F es discontinua en \( x=e \)
b) F no posee ceros en el intervalo (1,4)
c) F(3)<0
d) F es derivable en el intervalo  (1,4)
e) F posee máximos y mínimos absolutos en el intervalo [1,4]

intente lo siguiente

a) Debo analizar \( f(x) \) en \( x=e \) ?? si es así f es discontinua por ende F también lo es

b)

\( F(x)=0=\displaystyle\int_{1}^{e}\ln xdx +\displaystyle\int_{e}^{4}-1dx=e-3\neq 0 \)

c)

\( F(3)=\displaystyle\int_{1}^{e} \ln x dx+\displaystyle\int_{e}^{3}-1dx=e-2>0 \)

d) al no ser f continua  F no es derivable en el (1,4)

e) No se cumple el teorema de Weirstrass por ende no posee extremos absolutos en el intervalo [1,4]

Tengo dudas en la continuidad de F en el [1,4] , y los demás items, están bien justificados  ??
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

23 Julio, 2021, 01:43 am
Respuesta #1

delmar

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Hola alucard

a) Tienes que analizar la continuidad de F no de f, la integral indefinida de una función integrable como la f, es siempre continua. Esto se puede demostrar en forma general

b) F tiene un valor positivo evidentemente en e y tiene un valor negativo en 4 se halla por integración, en consecuencia si tiene por lo menos un cero

c) Correcto

d) Averigua la derivada en e

e)Al ser continua presenta máximo y mínimo



Saludos

23 Julio, 2021, 03:23 am
Respuesta #2

alucard

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Hola
Hola alucard

a) Tienes que analizar la continuidad de F no de f, la integral indefinida de una función integrable como la f, es siempre continua. Esto se puede demostrar en forma general

Vos decis hacer

\( F(x)=\displaystyle\int_{1}^{e} \ln x dx+\displaystyle\int_{e}^{x}-1dx=e+1-x \)

Lo que no me queda muy claro , es que viendo los gráficos del logaritmo y la función constante hay una discontinuidad con salto finito en f cuando \( x=e \) . Esto no afecta en nada a la continuidad de F?

Citar
b) F tiene un valor positivo evidentemente en e y tiene un valor negativo en 4 se halla por integración, en consecuencia si tiene por lo menos un cero

si \( F(x)=e+1-x \) al ser continua en el intervalo [1,4] si ademas

\( F(1)\cdot F(4)<0 \to \exists{c}\in (1,4)/F(c)=0 \)

\( F(1)=e\quad F(4)=e-3\to F(1) \cdot F(4)<0 \) por lo tanto
F presenta por lo menos una raíz

Citar
d) Averigua la derivada en e

\( F'(e)=-1 \) acá la derivada no debería ser 1/e? o sea si veo f
la primera rama su derivada en \( x=e \) es 1/e

Citar
e)Al ser continua presenta máximo y mínimo

Claro por el teorema de Weirstrass

Gracias nuevamente por tu tiempo
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23 Julio, 2021, 03:42 am
Respuesta #3

franma

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Buenas alucard,

Hola
Hola alucard

a) Tienes que analizar la continuidad de F no de f, la integral indefinida de una función integrable como la f, es siempre continua. Esto se puede demostrar en forma general

Vos decis hacer

\( F(x)=\displaystyle\int_{1}^{e} \ln x dx+\displaystyle\int_{e}^{x}-1dx=e-x \)

Lo que no me queda muy claro , es que viendo los gráficos del logaritmo y la función constante hay una discontinuidad con salto finito en f cuando \( x=e \) . Esto no afecta en nada a la continuidad de F?

Siempre que tengamos una función \( f:[a,b]\to\mathbb{R} \) integrable, su integral indefinida \( F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt \) será continua.

La demostración se puede abordar utilizando el hecho de que las integrables están acotadas y el teorema del sandwich.

Algo más intuitivo tal vez: f tiene un salto, pero al pasar por ese salto sumamos una pequeñísima franja de área por lo que nuestra función F crecerá o decrecerá "poquito".

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

24 Julio, 2021, 12:42 am
Respuesta #4

delmar

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Hola
Hola alucard

a) Tienes que analizar la continuidad de F no de f, la integral indefinida de una función integrable como la f, es siempre continua. Esto se puede demostrar en forma general

Vos decis hacer

\( F(x)=\displaystyle\int_{1}^{e} \ln x dx+\displaystyle\int_{e}^{x}-1dx=e+1-x \)

Lo que no me queda muy claro , es que viendo los gráficos del logaritmo y la función constante hay una discontinuidad con salto finito en f cuando \( x=e \) . Esto no afecta en nada a la continuidad de F?


Citar
d) Averigua la derivada en e

\( F'(e)=-1 \) acá la derivada no debería ser 1/e? o sea si veo f
la primera rama su derivada en \( x=e \) es 1/e


Voy hacer un bosquejo de demostración para una función \( f:[a,b]\rightarrow{R} \) acotada tal que \( \exists{A(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt} \ \forall{x}\in{[a,b]} \) se ha de demostrar que \( A(x) \) es continua

La continuidad en todo punto x equivale a \( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{A(x+h)-A(x)}=0 \)

\( A(x+h)-A(x)=\displaystyle\int_{a}^{x+h}f(t)dt-\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt=\displaystyle\int_{x}^{x+h}f(t)dt \)

f es acotada implica \( \exists{M}\in{R^+} \ / \ \left |{f(t)}\right |<M \ \ \forall{t}\in{[a,b]} \)

Esto implica  \( -M<f(t)<M \ \ \forall{t}\in{[a,b]}\Rightarrow{-Mh<\displaystyle\int_{x}^{x+h}f(t) dt<Mh} \)

Por el teorema del sandwich se tiene que \( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{A(x+h)-A(x)}=0 \) en consecuencia es continua, es obvio que en los extremos hay continuidad también

d) la función F se define :

\( F(x)=\begin{cases}{xlnx-x+1}&\text{si}& x\in{[1,e]}\\1+e-x & \text{si}& x\in{(e,4]}\end{cases} \)

Los dos trozos son funciones continuas derivables, por el lado izquierdo se tiene \( F'(x)=ln x \) y por el lado derecho \( F'(x)=-1 \) en el punto e saca tus conclusiones


Saludos

25 Julio, 2021, 03:01 pm
Respuesta #5

alucard

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Hola

Hola
Hola alucard

a) Tienes que analizar la continuidad de F no de f, la integral indefinida de una función integrable como la f, es siempre continua. Esto se puede demostrar en forma general

Vos decis hacer

\( F(x)=\displaystyle\int_{1}^{e} \ln x dx+\displaystyle\int_{e}^{x}-1dx=e+1-x \)

Lo que no me queda muy claro , es que viendo los gráficos del logaritmo y la función constante hay una discontinuidad con salto finito en f cuando \( x=e \) . Esto no afecta en nada a la continuidad de F?


Citar
d) Averigua la derivada en e

\( F'(e)=-1 \) acá la derivada no debería ser 1/e? o sea si veo f
la primera rama su derivada en \( x=e \) es 1/e


Voy hacer un bosquejo de demostración para una función \( f:[a,b]\rightarrow{R} \) acotada tal que \( \exists{A(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt} \ \forall{x}\in{[a,b]} \) se ha de demostrar que \( A(x) \) es continua

La continuidad en todo punto x equivale a \( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{A(x+h)-A(x)}=0 \)

\( A(x+h)-A(x)=\displaystyle\int_{a}^{x+h}f(t)dt-\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt=\displaystyle\int_{x}^{x+h}f(t)dt \)

f es acotada implica \( \exists{M}\in{R^+} \ / \ \left |{f(t)}\right |<M \ \ \forall{t}\in{[a,b]} \)

Esto implica  \( -M<f(t)<M \ \ \forall{t}\in{[a,b]}\Rightarrow{-Mh<\displaystyle\int_{x}^{x+h}f(t) dt<Mh} \)

Por el teorema del sandwich se tiene que \( \displaystyle\lim_{h \to{}0}{A(x+h)-A(x)}=0 \) en consecuencia es continua, es obvio que en los extremos hay continuidad también

gracias de verdad

Citar
d) la función F se define :

\( F(x)=\begin{cases}{xlnx-x+1}&\text{si}& x\in{[1,e]}\\1+e-x & \text{si}& x\in{(e,4]}\end{cases} \)

no entiendo como armaste las ramas , o sea puedo ver que para la rama de arriba hiciste 

\( F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x} ln x dx+\displaystyle\int_{1}^{e} ln x dx
 \)
 verdad?

y para la rama de abajo

\( F(x)=\displaystyle\int_{1}^{e} \ln dx+\displaystyle\int_{e}^{x}-1dx=e+1-x \)

no entiendo porque en la segunda rama lo hiciste así  y en la primera porqué hiciste esa partición
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

25 Julio, 2021, 05:22 pm
Respuesta #6

franma

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Buenas alucard,

no entiendo como armaste las ramas , o sea puedo ver que para la rama de arriba hiciste 

\( F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x} ln x dx+\displaystyle\int_{1}^{e} ln x dx
 \)
 verdad?

Para el primer intervalo basta calcula la siguiente integral:

\( \displaystyle\int_{1}^{x}\ln(t)dt=(t\ln t-t)\Bigg |^x_1=(x\ln x-x)-(-1)=x\ln x -x + 1 \)

Lo que propones para el segundo intervalo es correcto, fíjate que al evaluar \( x\in (e,4] \) el área que hay desde 1 hasta e es una constante, por lo que nos falta agregar el área de la función correspondiente a este intervalo.

Saludos,
Franco.
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25 Julio, 2021, 05:51 pm
Respuesta #7

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Hola

Buenas alucard,
Para el primer intervalo basta calcula la siguiente integral:

\( \displaystyle\int_{1}^{x}\ln(t)dt=(t\ln t-t)\Bigg |^x_1=(x\ln x-x)-(-1)=x\ln x -x + 1 \)

Consulta, porque si es la integral va desde 1 a x, no se incluye a la rama de abajo ??  o sea yo interpreto que la función toma valores en el intervalo \( [1,x] \) , en ese intervalo no está incluido \( x=e \)??

Porqué en el no se particiona la primera rama en
\( [1,e] \cup{(e,4]}\cup{(4,x]} \) ? debe ser algo muy tonto que no lo puedo ver aún

Les agradezco su tiempo que se toman para responderme mis dudas , muchas gracias 
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25 Julio, 2021, 07:17 pm
Respuesta #8

franma

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Hola

Buenas alucard,
Para el primer intervalo basta calcula la siguiente integral:

\( \displaystyle\int_{1}^{x}\ln(t)dt=(t\ln t-t)\Bigg |^x_1=(x\ln x-x)-(-1)=x\ln x -x + 1 \)

Consulta, porque si es la integral va desde 1 a x, no se incluye a la rama de abajo ??  o sea yo interpreto que la función toma valores en el intervalo \( [1,x] \) , en ese intervalo no está incluido \( x=e \)??

Porqué en el no se particiona la primera rama en
\( [1,e] \cup{(e,4]}\cup{(4,x]} \) ? debe ser algo muy tonto que no lo puedo ver aún

Les agradezco su tiempo que se toman para responderme mis dudas , muchas gracias

No lo explicite (error mío), pero \( \displaystyle\int_{1}^{x}\ln(t)dt \) solo para \( x\in [1,e] \).

Luego la integral \( \displaystyle\int_{1}^{e} \ln t dt+\displaystyle\int_{e}^{x}-1dt \) para \( x\in(e,4] \).

Recordemos que la función original esta definida solamente en el intervalo \( [1,4] \) luego no es necesario considerar ninguna otra partición ni intervalo.

Resolviendo las integrales y finalmente uniendo todo nos queda:

\( F(x)=\begin{cases}{x\ln x-x+1}&\text{si}& 1\leq x\leq e \\1+e-x & \text{si}& e < x \leq 4\end{cases} \)

Nos quedo dividido pues la función original también era a trozos.

Si no se entiende algo, repregunta.

Saludos,
Franco.
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10 Agosto, 2021, 05:22 am
Respuesta #9

alucard

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muchas gracias por su tiempo, lo pude entender :aplauso:
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