Autor Tema: Región de integración (integrales dobles)

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22 Julio, 2021, 04:32 pm
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natt

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Tengo una duda con la región de integración limitada por :
\( {y=4x^2} \)
\( {y=20-2x} \)
\( {y=16x+20} \)

Después de haber realizado los cálculos para encontrar los puntos de intersección , me queda que la región S es:

\( {S=S_1\cup{S_2}\cup{S_3}\cup{S_4}\cup{S_5}\cup{S_6}} \)

Como inicialmente me piden integrar respecto de la variable y me queda:

\( {S_1=\left\{{(x,y):\frac{-5}{2}\leq{x}\leq{{-1}},4x^2\leq{y}\leq{{20-2x}}}\right\}} \)

\( {S_2=\left\{{(x,y):{-1}\leq{x}\leq{0} , 16x+20\leq{y}\leq{{20-2x}}}\right\}} \)

\( {S_3=\left\{{(x,y):{-1}\leq{x}\leq{0} , 4x^2\leq{y}\leq{{16x+20}}}\right\}} \)

\( {S_4=\left\{{(x,y):0\leq{x}\leq{2} , 4x^2\leq{y}\leq{{20-2x}}}\right\}} \)

\( {S_5=\left\{{(x,y):0\leq{x}\leq{2} , {20-2x}\leq{y}\leq{{16x+20}}}\right\}} \)

\( {S_6=\left\{{(x,y):2\leq{x}\leq{5} ,  4x^2\leq{y}\leq{{16x+20}}}\right\}} \)

¿Es correcto el plateo que realice ? es decir ,¿Es correcta la regio de integración S?

De antemano gracias.

22 Julio, 2021, 09:00 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Sin más explicaciones resulta difícil saber porqué has dividido la región en seis trozos. Si \( f(x):=4x^2,\, g(x):=20-2x \) y \( h(x):=16x+20 \) entonces tienes que

\( \displaystyle{
f(x)=g(x)\iff 4x^2=20-2x\iff 2x^2+x-10=0 \iff x=\frac{-1\pm \sqrt{1+80}}{4}\iff x\in \{-5/2,2\}\\
f(x)=h(x)\iff 4x^2=16x+20\iff x^2-4x-5=0 \iff x=\frac{4\pm \sqrt{16+20}}{2}\iff x\in\{5,-1\}\\
g(x)=h(x)\iff 20-2x=16x+20\iff 18x=0 \iff x=0
} \)

Intuitivamente, atendiendo a las formas de \( f, g \) y \( h \), vemos que un área es la comprendida entre la curva formada por la intersección de \( h \) y \( g \) acotada por debajo por \( f \). Entonces los puntos de interés son el primer corte entre \( f \) y \( h \), que designaremos como \( x_0:=-1 \), el punto de corte entre \( g \) y \( h \), que es \( x_1:=0 \), y finalmente el punto de corte más alejado (hacia la derecha) entre \( f \) y \( g \), que es \( x_2:=2 \). Por tanto el área de esa región sería

\( \displaystyle{
\int_{x_0}^{x_1}(h(x)-f(x))\mathop{}\!d x+\int_{x_1}^{x_2}(g(x)-f(x))\mathop{}\!d x
} \)

Igualmente se pueden considerar otras regiones de integración diferentes, ya que hay al menos tres regiones limitadas por \( f,g \) y \( h \), yo he considerado la región más central de las tres. Adjunto gráfico para que lo veas:



He considerado el área azul, pero bien podrían ser las áreas en rojo o amarillo, o todas a la vez.

23 Julio, 2021, 10:01 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Tengo una duda con la región de integración limitada por :
\( {y=4x^2} \)
\( {y=20-2x} \)
\( {y=16x+20} \)

Después de haber realizado los cálculos para encontrar los puntos de intersección , me queda que la región S es:

\( {S=S_1\cup{S_2}\cup{S_3}\cup{S_4}\cup{S_5}\cup{S_6}} \)

Como inicialmente me piden integrar respecto de la variable y me queda:

\( {S_1=\left\{{(x,y):\frac{-5}{2}\leq{x}\leq{{-1}},4x^2\leq{y}\leq{{20-2x}}}\right\}} \)

\( {S_2=\left\{{(x,y):{-1}\leq{x}\leq{0} , 16x+20\leq{y}\leq{{20-2x}}}\right\}} \)

\( {S_3=\left\{{(x,y):{-1}\leq{x}\leq{0} , 4x^2\leq{y}\leq{{16x+20}}}\right\}} \)

\( {S_4=\left\{{(x,y):0\leq{x}\leq{2} , 4x^2\leq{y}\leq{{20-2x}}}\right\}} \)

\( {S_5=\left\{{(x,y):0\leq{x}\leq{2} , {20-2x}\leq{y}\leq{{16x+20}}}\right\}} \)

\( {S_6=\left\{{(x,y):2\leq{x}\leq{5} ,  4x^2\leq{y}\leq{{16x+20}}}\right\}} \)

¿Es correcto el plateo que realice ? es decir ,¿Es correcta la regio de integración S?

Como ha apuntado Masacroso no está muy claro de a que región se refiere el enunciado, ya que esas curvas delimitan varias regiones. Lo que tu has hecho (y es una posible interpretación) es considerar las tres que ha dibujado Masacroso, es decir, la zona coloreada de rojo, azul y amarillo.

Las regiones \( S_2 \) y \( S_3 \) podrías expresarlas de manera conjunta como:

\( S_{23}=\left\{{(x,y):{-1}\leq{x}\leq{0} , 4x^2\leq{y}\leq{{20-2x}}}\right\} \)

y las regiones \( S_4 \) y \( S_5 \) como:

\( S_{45}=\left\{{(x,y):0\leq{x}\leq{2} , {4x^2}\leq{y}\leq{{16x+20}}}\right\} \)

Saludos.