Autor Tema: Teorema de Fubini

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21 Julio, 2021, 10:35 pm
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Zaragoza

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Sean $$M=\{(x,y):y\geq 0,x-2\leq y<x-1\}$$, $$N=\{(x,y):y\geq 0,x-3\leq y<x-2\}$$, y $$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$$ la función dada por $$f=2\cdot 1_M-3\cdot 1_N$$. Me piden verificar que

\[ \int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}f(x,y)dxdy\ne\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}f(x,y)dydx \]

hice las cuentas pero no estoy seguro de que realmente salga así, ando confundido. Pero más allá de los cálculos la pregunta más interesante sería ¿por qué no se puede aplicar el teorema de Fubini?

21 Julio, 2021, 11:27 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Sean $$M=\{(x,y):y\geq 0,x-2\leq y<x-1\}$$, $$N=\{(x,y):y\geq 0,x-3\leq y<x-2\}$$, y $$f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$$ la función dada por $$f=2\cdot 1_M-3\cdot 1_N$$. Me piden verificar que

\[ \int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}f(x,y)dxdy\ne\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}f(x,y)dydx \]

hice las cuentas pero no estoy seguro de que realmente salga así, ando confundido. Pero más allá de los cálculos la pregunta más interesante sería ¿por qué no se puede aplicar el teorema de Fubini?

El teorema de Fubini sólo es aplicable para funciones integrables, es decir, funciones tales que \( \int |f|\mathop{}\!d \lambda <\infty  \). Para hacer los cálculos que te piden tienes que

\( \displaystyle{
\mathbf{1}_{M}(x,y)=\mathbf{1}_{[0,\infty )}(y)\cdot \mathbf{1}_{[x-2,x-1)}(y)=\mathbf{1}_{[0,\infty )\cap [x-2,x-1)}(y)=\mathbf{1}_{[0\vee (x-2), x-1)}(y)\\

\mathbf{1}_{M}(x,y)=\mathbf{1}_{[0,y]}(x-2)\cdot \mathbf{1}_{(0\vee y,\infty )}(x-1)=\mathbf{1}_{[2,y+2]\cap (1\vee (y+1),\infty )}(x)=\mathbf{1}_{(2\vee (y+1),y+2]}(x) \text{ c.t.p. }\tag1
} \)

Eso te permite calcular con facilidad las integrales iteradas de \( \mathbf{1}_{M} \), donde \( a\vee b:=\max\{a,b\} \). En la segunda expresión hay un "c.t.p." al final, y es porque he ignorado unos casos que representan un conjunto de medida nula, ya que tendríamos que

\( \displaystyle{
\mathbf{1}_{[2,y+2]\cap (1\vee (y+1),\infty )}(x)=\begin{cases}
\mathbf{1}_{[2,y+2]}(x),&\text{ cuando }2> y+1\\
\mathbf{1}_{(y+1,y+2]}(x),&\text{ cuando }2\leqslant y+1
\end{cases}
} \)

La direferencia es que en (1) estoy tomando \( \mathbf{1}_{(2,y+2]} \) cuando \( 2> y+1 \) en vez de \( \mathbf{1}_{[2,y+2]} \). Las dos funciones son iguales en casi todas partes, de ahí el "c.t.p.".

Para la función \( \mathbf{1}_{N} \) tienes algo semejante. El desarrollo es sencillo pero tedioso. Espero que con eso ya puedes hacer el cálculo.

22 Julio, 2021, 04:14 am
Respuesta #2

Zaragoza

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El teorema de Fubini sólo es aplicable para funciones integrables, es decir, funciones tales que \( \int |f|\mathop{}\!d \lambda <\infty  \). Para hacer los cálculos que te piden tienes que

\( \displaystyle{
\mathbf{1}_{M}(x,y)=\mathbf{1}_{[0,\infty )}(y)\cdot \mathbf{1}_{[x-2,x-1)}(y)=\mathbf{1}_{[0,\infty )\cap [x-2,x-1)}(y)=\mathbf{1}_{[0\vee (x-2), x-1)}(y)\\

\mathbf{1}_{M}(x,y)=\mathbf{1}_{[0,y]}(x-2)\cdot \mathbf{1}_{(0\vee y,\infty )}(x-1)=\mathbf{1}_{[2,y+2]\cap (1\vee (y+1),\infty )}(x)=\mathbf{1}_{(2\vee (y+1),y+2]}(x) \text{ c.t.p. }\tag1
} \)

Eso te permite calcular con facilidad las integrales iteradas de \( \mathbf{1}_{M} \), donde \( a\vee b:=\max\{a,b\} \). En la segunda expresión hay un "c.t.p." al final, y es porque he ignorado unos casos que representan un conjunto de medida nula, ya que tendríamos que

\( \displaystyle{
\mathbf{1}_{[2,y+2]\cap (1\vee (y+1),\infty )}(x)=\begin{cases}
\mathbf{1}_{[2,y+2]}(x),&\text{ cuando }2> y+1\\
\mathbf{1}_{(y+1,y+2]}(x),&\text{ cuando }2\leqslant y+1
\end{cases}
} \)

La direferencia es que en (1) estoy tomando \( \mathbf{1}_{(2,y+2]} \) cuando \( 2> y+1 \) en vez de \( \mathbf{1}_{[2,y+2]} \). Las dos funciones son iguales en casi todas partes, de ahí el "c.t.p.".

Para la función \( \mathbf{1}_{N} \) tienes algo semejante. El desarrollo es sencillo pero tedioso. Espero que con eso ya puedes hacer el cálculo.
Muchas gracias, entendí todo lo que pusiste. Pero me quedan dudas de como escribir las integrales iteradas

$$\int_\mathbb{R}\left(\int_\mathbb{R}f(x,y)dy\right)dx=\int_\mathbb{R}\left(\int_\mathbb{R}1_M(x,y)dy-\int_\mathbb{R}1_N(x,y)dy\right)dx\\
=\int_\mathbb{R}\left(\int_\mathbb{R}1_{[0\vee (x-2), x-1)}(y)dy-\int_\mathbb{R}1_{[0\vee (x-3), x-2)}(y)dy\right)dx=\int_\mathbb{R}\left(¿?\right)dx$$

Me podrías ayudar por favor? Al inicio traté de hacer a la mala usando métodos de cálculo (integrales iteradas de primer y segundo tipo y terminé muy confundido). Por otro lado, ya que $$M$$ y $$N$$ son disjuntos entonces $$|f(x,y)|\geq 2$$ para todo $$(x,y)\in M\cup N$$, esto probaría que $$f$$ no es integrable por tanto no se podría usar el teorema de Fubini.

22 Julio, 2021, 05:27 am
Respuesta #3

Masacroso

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Muchas gracias, entendí todo lo que pusiste. Pero me quedan dudas de como escribir las integrales iteradas

$$\int_\mathbb{R}\left(\int_\mathbb{R}f(x,y)dy\right)dx=\int_\mathbb{R}\left(\int_\mathbb{R}1_M(x,y)dy-\int_\mathbb{R}1_N(x,y)dy\right)dx\\
=\int_\mathbb{R}\left(\int_\mathbb{R}1_{[0\vee (x-2), x-1)}(y)dy-\int_\mathbb{R}1_{[0\vee (x-3), x-2)}(y)dy\right)dx=\int_\mathbb{R}\left(¿?\right)dx$$

Me podrías ayudar por favor? Al inicio traté de hacer a la mala usando métodos de cálculo (integrales iteradas de primer y segundo tipo y terminé muy confundido).

No puedes separar el integrando en dos partes, es decir, esta identidad

\( \displaystyle{
\iint(2\mathbf{1}_{M}(x,y)-3\mathbf{1}_{N}(x,y))\mathop{}\!d y\mathop{}\!d x=\int\left(\int 2\mathbf{1}_{M}(x,y)-\int 3\mathbf{1}_{N}(x,y))\mathop{}\!d y\right)\mathop{}\!d x
} \)

no es necesariamente cierta. Por ejemplo, tienes que

\( \displaystyle{
\lambda _1([0\vee (x-2),x-1))=\begin{cases}
\lambda _1([0,x-1)),&\text{ cuando }2\geqslant x\\
\lambda _1([x-2,x-1)),&\text{ cuando }2<x
\end{cases}=\begin{cases}
x-1,&\text{ cuando }2\geqslant x\geqslant 1\\
1,&\text{ cuando }2<x\\
0,&\text{ otro caso }
\end{cases}\tag2
} \)

de donde es fácil de ver que \( \iint\mathbf{1}_{M}(x,y)\mathop{}\!d y\mathop{}\!d x=\infty  \), sin embargo es posible que la integral iterada \( \iint(2\mathbf{1}_{M}(x,y)-3\mathbf{1}_{N}(x,y))\mathop{}\!d y\mathop{}\!d x \) sea finita. Tienes que buscar una expresión semejante a (1) para \( \mathbf{1}_{N} \), una vez encontrado haces un análisis por casos como en (2) del integrando \( 2\mathbf{1}_{M}-3\mathbf{1}_{N} \), de donde queda muy fácil hallar el valor de la integral iterada.

Primero halla esa expresión para \( \mathbf{1}_{N} \) y luego vamos viendo las dificultades que te puedan surgir al integrar (aunque ya te digo que la integral iterada es sencilla).

Citar
Por otro lado, ya que $$M$$ y $$N$$ son disjuntos entonces $$|f(x,y)|\geq 2$$ para todo $$(x,y)\in M\cup N$$, esto probaría que $$f$$ no es integrable por tanto no se podría usar el teorema de Fubini.

Efectivamente \( M\cap N=\emptyset  \), de ahí tienes que \( |f(x,y)|=2\cdot \mathbf{1}_{M}(x,y)+ 3\cdot \mathbf{1}_{N}(x,y) \), por tanto para mostrar que \( \int_{\mathbb{R}^2}|f|\mathop{}\!d \lambda_2 =\infty  \) es suficiente con mostrar que \( \lambda _2(M)=\infty  \) o \( \lambda _2(N)=\infty  \).

Añado: ok, veo que ya habías encontrado que \( \mathbf{1}_{N}(x,y)=1_{[0\vee (x-3), x-2)}(y) \), entonces tienes que

\( \displaystyle{
\lambda _1([0\vee (x-3), x-2))=\begin{cases}
\lambda _1([0,x-2)),&\text{ cuando }3\geqslant x\\
\lambda _1([x-3,x-2]),&\text{ cuando }3<x
\end{cases}=\begin{cases}
x-2,&\text{ cuando }3\geqslant x\geqslant 2\\
1,& \text{ cuando }3<x\\
0,&\text{ otro caso }
\end{cases}
} \)

Por tanto

\( \displaystyle{
\int f(x,y)\mathop{}\!d y=\begin{cases}
2-3(x-2),&\text{ cuando }x\in(2,3]\\
2(x-1),&\text{ cuando }x\in[1,2]\\
-1,&\text{ cuando }x>3\\
0,&\text{ otro caso }
\end{cases}\\
\therefore\quad \iint f(x,y)\mathop{}\!d y\mathop{}\!d x=\int_{(2,3]}(8-3x)\mathop{}\!d x+\int_{[1,2]}(2x-2)\mathop{}\!d x-\int_{(3,\infty )}\mathop{}\!d x=-\infty
} \)

De manera similar calculas la otra integral iterada.

22 Julio, 2021, 08:34 am
Respuesta #4

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Muchas gracias Masacroso por darte el tiempo de resolverlo a detalle, realmente me ayudaste demasiado ya entendí las cosas en las cuales me estaba equivocando al inicio y he aprendido nueva técnica para abordar el problema.  :aplauso: :aplauso: :aplauso:

22 Julio, 2021, 12:27 pm
Respuesta #5

Masacroso

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Muchas gracias Masacroso por darte el tiempo de resolverlo a detalle, realmente me ayudaste demasiado ya entendí las cosas en las cuales me estaba equivocando al inicio y he aprendido nueva técnica para abordar el problema.  :aplauso: :aplauso: :aplauso:

Hay otra notación que es aún más práctica que utilizar funciones características pero que no suelo usar mucho en este foro porque no es tan conocida, son los corchetes de Iverson. Un corchete de Iverson es de la forma \( [P(x_1,x_2,\ldots ,x_n)] \) donde \( P \) es una proposición lógica que depende de un número de variables indeterminado, por ejemplo \( x_1,\ldots ,x_n \), entonces el corchete toma valor \( 1 \) cuando \( P(x_1,x_2,\ldots ,x_n) \) es cierto, y \( 0 \) cuando es falso, entonces por ejemplo tienes que las notaciones \( \mathbf{1}_{A}(x) \) y \( [x\in A] \) son equivalentes, o también que \( \mathbf{1}_{[0,\infty )}(x-y)=[x\geqslant y] \), etc.

Entonces en el caso que nos ocupa podíamos escribir

\( \displaystyle{
\mathbf{1}_{M}(x,y)=[\max\{0,x-2\}\leqslant y<x-1]=[(0\leqslant y) \,\land\, (x-2\leqslant y<x-1)]=[0\leqslant y]\cdot [x-2\leqslant y]\cdot [y<x-1]
} \)

donde ahí \( \land  \) es la conjunción lógica "y". En este caso es desafortunado que antes haya utilizado la notación \( \vee  \) para representar el máximo de dos valores ya que también ese símbolo es utilizado para la disyunción lógica "o", por eso ahora he optado por la más estándar (aunque ligeramente más larga) notación \( \max \).

23 Julio, 2021, 02:48 am
Respuesta #6

Zaragoza

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Efectivamente es una notación más amigable, no la conocía muchas gracias.