Autor Tema: Duda con límite

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21 Julio, 2021, 07:20 pm
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quentinlwaltz

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Buenas,
estoy atascado con el siguiente límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{2^x+\sqrt[2]{x}}{\color{red}2^{x+1}\color{black}+\sqrt[2]{x+1}}} \)

Nota: Es dos elevado a x+1 pero sólo eleva el paréntesis inicial "(" y lo demás lo pone como multiplicando a continuación. Disculpen mi falta de pericia en LaTeX.
En principio parece una indeterminación de tipo \( \displaystyle\frac{\infty}{\infty} \)
Sin embargo no sé reralmente como atacarlo, pues no se trata de un cociente de polinomios ni  tampoco se llega muy lejos aplicando la regla de L'Hopital.
Gracias de antemano y un saludo.

CORREGIDO

21 Julio, 2021, 07:59 pm
Respuesta #1

franma

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Buenas quentinlwaltz,

Para poder tener la potencia con mas de un caracter es necesario ponerlo entre llaves de la siguiente manera: 2^{x+1}.

Luego con el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{2^x+\sqrt[2]{x}}{2^{x+1}+\sqrt[2]{x+1}}} \)

Aplicamos L'hopital:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{\ln(2)2^x+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\ln(2)2^{x+1}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}} \)

Evaluamos con x tendiendo a infinito:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\dfrac{\cancel{\ln(2)}2^x+\cancelto{0}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}{\cancel{\ln(2)}2^{x+1}+\cancelto{0}{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}}}=2^{-1}=\dfrac{1}{2} \)

Saludos,
Franco.
En ninguna parte puede hallar el hombre un retiro tan apacible y tranquilo como en la intimidad de su alma.

21 Julio, 2021, 08:31 pm
Respuesta #2

quentinlwaltz

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Ha sido una confusión muy lamentable.
Gracias Franco.