Autor Tema: Condiciones para una aproximación en un límite doble

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21 Julio, 2021, 06:48 pm
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alucard

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Hola tengo un enunciado que indica lo siguiente

Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa

Siendo\(  f: A\subseteq{R^n}\to R \) una función definida en un conjunto abierto , si f es continua entonces es diferenciable 

Estudiar la diferenciabilidad de la función

\( f(x,y)=\begin{cases}{\dfrac{x^5}{x^3-y^3}}&\text{si}& y\neq x\\0 & \text{si}& y=x\end{cases} \)

en el (0,0)

La afirmación seria falsa basta tomar de contraejemplo la función 

\( f(x,y)=\begin{cases}{\dfrac{x^2y}{x^2+y^2}}&\text{si}& (x,y)\neq (0,0)\\0 & \text{si}& (x,y)=(0,0)\end{cases} \)

Es continua en el (0,0) sin embargo no es diferenciable , correcto ?

Me genera dudas la función de la cual me piden si analice si es o no diferenciable , y entro en duda con el tipo de curvas que puedo elegir, me refiero si puedo tomar por ejemplo

\( y=ln(x+1)\quad  y=\sqrt{x} \quad y=\sqrt[ 3]{x^5+x^3} \)

o sea tienen que ser continuas y derivables en el punto ? o alcanza con la continuidad?

Si tomo la tercera curva ese limite no existe por lo tanto f no es diferenciable, pero tengo dudas en que si es válida tomar esa curva para probar que no existe L
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

22 Julio, 2021, 04:27 am
Respuesta #1

delmar

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Hola alucard

Es cierto lo que dices la diferenciabilidad implica la continuidad pero no viceversa. Respecto al problema que te han propuesto es  considerar la definición de diferenciabilidad de una función :

f es diferenciable en \( (x_0,y_0)\Leftrightarrow{\exists{B((x_0,y_0),r)} \ / \ f((x_0,y_0)+v)=f(x_0,y_0)+(D_xf(x_0,y_0),D_yf(x_0,y_0))\cdot{v}+\left\|{v}\right\|E(v), \ \ \ r>0} \) Ec. I

y

\( \displaystyle\lim_{v \to{}(0,0)}{E(v)}=0 \) Ec. II

En este caso \( x_0=0, \ y_0=0 \) y f esta definida en todo \( R^2 \) y \( D_xf(0,0)=D_f(0,0)=0 \) verifica (aplica definición de derivada parcial) en consecuencia para \( v\neq O \) siempre existe \( E(v) \) lo único que hay que demostrar es la Ec II

Si \( v=(h,k) \) se tiene que \( E(v)=\displaystyle\frac{h^5}{(h^3-k^3)\sqrt[ ]{h^2+k^2}} \)

En este punto es correcta la curva \( k=\sqrt[3 ]{h^5+h^3} \) es continua y pasa por el origen y evidentemente el límite no tiende a cero en consecuencia no es diferenciable

Saludos

22 Julio, 2021, 01:04 pm
Respuesta #2

alucard

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Hola , entonces las curvas que se deben elegir alcanza con que sean continuas en el punto y no necesariamente estar definidas en todo el dominio de f. A lo que me refiero es que si tomo la curva \( y=\sqrt{x} \) es continua en el 0 , pero solo esta definida para \( x\geq{0} \) y el dominio de f abarca todo \( R^2 \)

A eso enfocaba mas que nada mi duda , si las curvas a tomar también deben estar definidas en todo \( R^2 \)

gracias por tu tiempo 
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22 Julio, 2021, 04:11 pm
Respuesta #3

delmar

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Es suficiente con que este definida en un entorno de (0,0) y obviamente que sea continua

Saludos

23 Julio, 2021, 01:05 am
Respuesta #4

alucard

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