Autor Tema: Duda con la derivada direccional de una función

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19 Julio, 2021, 03:20 pm
Respuesta #10

alucard

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Hola
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Edite el enunciado, ahora si esa es la función por tramos, afecta la conclusión final esa corrección que hice  ???

Así tiene más sentido y cambian las cosas.

La derivada direccional en el punto  \( (0,4)[tex] en la dirección [tex](a,b) \) es:

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}\dfrac{f((0,4)+(a,b))-f(0,4)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{}\dfrac{f(a,4+b)}{h} \)

Si \( b=0 \), entonces:

\( \displaystyle\lim_{h \to 0}{}\dfrac{f(a,4+0)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{}\dfrac{f(a,4)}{h}=\displaystyle\lim_{h \to 0}{}\dfrac{0}{h}=0 \)

es decir la derivada parcial en respecto de \( x \) existe y vale \( 0 \).

Saludos.

perdona que pregunte algo tan simple , pero no me queda claro , porque ahora si cambia y la derivada parcial en x existe al hacer la corrección del enunciado, y porque antes no, o sea , al efectuar 

\( f(ha,4+hb)=\displaystyle\frac{h^2a^2 \ sen(16-(16+8hb+h^2b^2))}{(4+hb)-4}=\displaystyle\frac{ha^2 \ sen(-h^2b^2-8hb)}{b} \)

Si b=0 no veo aún como ese límite existe , y antes no  :banghead:
Un camino de 1000 km se empieza a recorrer cuando se da el primer paso

19 Julio, 2021, 10:20 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

perdona que pregunte algo tan simple , pero no me queda claro , porque ahora si cambia y la derivada parcial en x existe al hacer la corrección del enunciado, y porque antes no, o sea , al efectuar 

\( f(ha,4+hb)=\displaystyle\frac{h^2a^2 \ sen(16-(16+8hb+h^2b^2))}{(4+hb)-4}=\displaystyle\frac{ha^2 \ sen(-h^2b^2-8hb)}{b} \)

Si b=0 no veo aún como ese límite existe , y antes no  :banghead:

Pero es que si \( b=0 \), entonces \( f(ha,4+hb)=f(ha,4) \). Entonces tienes que usar la definición de \( f(x,y) \) cuando \( y=4 \), que es simplemente tomar el valor cero; es decir:

\( f(ha,4+hb)=f(ha,4)=0 \).

Saludos.

20 Julio, 2021, 03:40 am
Respuesta #12

alucard

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Ahhhh o sea que también debo tomar en cuenta las ramas de f(x,y) cuando busco las direccionales o parciales , por ejemplo tengo un ejercicio muy parecido que me pide la continuidad y si f es derivable en el (0,0)

\( f(x,y)=\begin{cases}{\dfrac{x^2}{y}}&\text{si}&(x,y)\neq (x,0)\\0 & \text{si}& (x,y)=(x,0)\end{cases} \)

en este caso la función no estaría definida cuando x=0 ¿correcto?
En la continuidad esta bien así ?

\( \exists{f(0,0)} \) dado que cuando y=0 la función vale 0

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to{(0,0)}}{f(x,y)} \)

Si \( y=0 \) el limite vale 0

Con \( y\neq 0 \) se analiza \( \displaystyle\lim_{(x,y)\to{(0,0)}}{\dfrac{x^2}{y}} \)

si me "acerco" por \( y=x^2 \) entonces \( L=1 \) por lo tanto f no es continua en el (0,0)

Para la derivabilidad lo encare por el lado de las direccionales para no hacer dos veces la cuenta 

\( f'(A,\hat r)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(ha,hb)}{h}}=\dfrac{a^2}{b} \)

Si \( b=0  \)  entonces

\( f'(A,\hat r)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(ha,0)}{h}}=0 \)

porque corresponde con la segunda rama de f, correcto

Si \( b\neq 0 \) entonces

\( f'(A,\hat r)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(ha,hb)}{h}}=\dfrac{a^2}{b} \)

Por lo tanto \( f'_x(0,0)=0\quad f'_y(0,0)=0 \)

lo que implica que f es derivable en (0,0) y también es derivable para toda dirección

o sea

\( f(A,\hat r)=\begin{cases}{\dfrac{a^2}{b}}&\text{si}& b\neq 0\\0 & \text{si}& b=0\end{cases} \)

correcto ?
Si quiero calcular las derivadas direccionales máximas, mínimas y nulas , tengo que trabajar con la primera rama verdad ??
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20 Julio, 2021, 10:34 am
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

Ahhhh o sea que también debo tomar en cuenta las ramas de f(x,y) cuando busco las direccionales o parciales

Si; pero no es nada excepcional. Simplemente cuando evalues una función en un punto tienes que ver como está definida la función en ese punto. Si la función está definida a trozos, tendrás que fijarte en que trozo está el punto para usar la expresión adecuada en ese caso.


Citar
, por ejemplo tengo un ejercicio muy parecido que me pide la continuidad y si f es derivable en el (0,0)

\( f(x,y)=\begin{cases}{\dfrac{x^2}{y}}&\text{si}&(x,y)\neq (x,0)\\0 & \text{si}& (x,y)=(x,0)\end{cases} \)

en este caso la función no estaría definida cuando x=0 ¿correcto?

No, no es correcto. Esa función está definida en todo punto. ¿Qué tiene que ver que \( x \) sea o no cero?. La función está definida en un cualquier punto \( (x,y) \) de dos formas dependiendo de si \( y=0 \) ó \( y\neq 0 \).

Citar
En la continuidad esta bien así ?

\( \exists{f(0,0)} \) dado que cuando y=0 la función vale 0

\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to{(0,0)}}{f(x,y)} \)

Si \( y=0 \) el limite vale 0

Con \( y\neq 0 \) se analiza \( \displaystyle\lim_{(x,y)\to{(0,0)}}{\dfrac{x^2}{y}} \)

si me "acerco" por \( y=x^2 \) entonces \( L=1 \) por lo tanto f no es continua en el (0,0)

Bien.

Citar
Para la derivabilidad lo encare por el lado de las direccionales para no hacer dos veces la cuenta 

Desde luego si no es continua, no es derivable (diferenciable). Otra cosa es que si pudieran existir las derivadas direccionales, en alguna dirección o incluso en todas.

Citar
\( f'(A,\hat r)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(ha,hb)}{h}}=\dfrac{a^2}{b} \)

Si \( b=0  \)  entonces

\( f'(A,\hat r)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(ha,0)}{h}}=0 \)

porque corresponde con la segunda rama de f, correcto

Si \( b\neq 0 \) entonces

\( f'(A,\hat r)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{f(ha,hb)}{h}}=\dfrac{a^2}{b} \)

Por lo tanto \( f'_x(0,0)=0\quad f'_y(0,0)=0 \)

Bien.

Citar
lo que implica que f es derivable en (0,0) y también es derivable para toda dirección

No estoy seguro de a que llamas "derivable en...". Que existan todas las derivadas direccionales NO garantiza que la función se derivable (diferenciable) en el punto. De hecho si la función no es continua (como es el caso) es imposible que la función sea diferenciable en el punto.

Lo que has comprobado es que existen todas las derivadas direccionales, que es distinto.

Citar
o sea

\( f(A,\hat r)=\begin{cases}{\dfrac{a^2}{b}}&\text{si}& b\neq 0\\0 & \text{si}& b=0\end{cases} \)

correcto ?
Si quiero calcular las derivadas direccionales máximas, mínimas y nulas , tengo que trabajar con la primera rama verdad ??

No entiendo del todo la pregunta. Tienes que trabajar con todas las ramas, eligiendo cada una según la dirección en la que trabajes.

Por otra parte dado que no es diferenciable, ten cuidado porque ahora el gradiente no tiene nada que ver con las derivadas direccionales.

Saludos.

20 Julio, 2021, 01:53 pm
Respuesta #14

alucard

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Hola

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Ahhhh o sea que también debo tomar en cuenta las ramas de f(x,y) cuando busco las direccionales o parciales

Si; pero no es nada excepcional. Simplemente cuando evalues una función en un punto tienes que ver como está definida la función en ese punto. Si la función está definida a trozos, tendrás que fijarte en que trozo está el punto para usar la expresión adecuada en ese caso.
perfecto

Citar
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, por ejemplo tengo un ejercicio muy parecido que me pide la continuidad y si f es derivable en el (0,0)

\( f(x,y)=\begin{cases}{\dfrac{x^2}{y}}&\text{si}&(x,y)\neq (x,0)\\0 & \text{si}& (x,y)=(x,0)\end{cases} \)

en este caso la función no estaría definida cuando x=0 ¿correcto?

No, no es correcto. Esa función está definida en todo punto. ¿Qué tiene que ver que \( x \) sea o no cero?. La función está definida en un cualquier punto \( (x,y) \) de dos formas dependiendo de si \( y=0 \) ó \( y\neq 0 \).
entiendo

Citar
Citar
lo que implica que f es derivable en (0,0) y también es derivable para toda dirección

No estoy seguro de a que llamas "derivable en...". Que existan todas las derivadas direccionales NO garantiza que la función se derivable (diferenciable) en el punto. De hecho si la función no es continua (como es el caso) es imposible que la función sea diferenciable en el punto.

Lo que has comprobado es que existen todas las derivadas direccionales, que es distinto.

En la cursada que tuve, al decir derivable se hacia referencia a la existencia de las derivadas parciales , y derivable en toda dirección a la existencia de las direccionales , la existencia de las parciales no implicaba que f sea derivable en toda dirección , y que sea derivable en toda dirección no implicaba que f sea diferenciable
Citar
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o sea

\( f(A,\hat r)=\begin{cases}{\dfrac{a^2}{b}}&\text{si}& b\neq 0\\0 & \text{si}& b=0\end{cases} \)

correcto ?
Si quiero calcular las derivadas direccionales máximas, mínimas y nulas , tengo que trabajar con la primera rama verdad ??

No entiendo del todo la pregunta. Tienes que trabajar con todas las ramas, eligiendo cada una según la dirección en la que trabajes.

Por otra parte dado que no es diferenciable, ten cuidado porque ahora el gradiente no tiene nada que ver con las derivadas direccionales.

Por ejemplo si necesito las derivadas direccionales máximas o mínimas, en el caso que f no sea diferenciable no puedo aplicar el gradiente entonces tengo que encontrarlas a partir de

\( f'(A,\hat r)=\dfrac{a^2}{b} \) siendo \( \hat r=(a,b) \) cuyo módulo es \( a^2+b^2=1 \)

si b=0 entonces no tengo derivadas máximas ni mínimas

si b\neq 0 uso entonces usaría la rama de arriba

Correcto ??

Para las direcciones nulas que seria el mismo análisis ?

muchas gracias por tu tiempo 

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21 Julio, 2021, 09:22 am
Respuesta #15

Luis Fuentes

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Por ejemplo si necesito las derivadas direccionales máximas o mínimas, en el caso que f no sea diferenciable no puedo aplicar el gradiente entonces tengo que encontrarlas a partir de

\( f'(A,\hat r)=\dfrac{a^2}{b} \) siendo \( \hat r=(a,b) \) cuyo módulo es \( a^2+b^2=1 \)

si b=0 entonces no tengo derivadas máximas ni mínimas

No. Si \( b=0 \) sabes que la derivada direccional vale \( 0 \); ya veremos si es máximo, mínimo o ninguna de la dos cosas.

Citar
si b\neq 0 uso entonces usaría la rama de arriba

Si. Y dado que:

\( \dfrac{a^2}{b}=\dfrac{1-b^2}{b}=\dfrac{1}{b}-b \)

Para valores de \( b \) muy próximos a cero, esa suma se aproxima a más o menos infinito.

Por tanto el valor de la derivada direccional no está acotada ni superiormente ni inferiormente.

Saludos.

22 Julio, 2021, 12:57 pm
Respuesta #16

alucard

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Si. Y dado que:

\( \dfrac{a^2}{b}=\dfrac{1-b^2}{b}=\dfrac{1}{b}-b \)

Para valores de \( b \) muy próximos a cero, esa suma se aproxima a más o menos infinito.

Por tanto el valor de la derivada direccional no está acotada ni superiormente ni inferiormente.

Saludos.

Entonces al no estar acotada no tiene direccional máxima ni mínima , verdad ?
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23 Julio, 2021, 12:43 am
Respuesta #17

delmar

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Hola Alucard

Hola



Si. Y dado que:

\( \dfrac{a^2}{b}=\dfrac{1-b^2}{b}=\dfrac{1}{b}-b \)

Para valores de \( b \) muy próximos a cero, esa suma se aproxima a más o menos infinito.

Por tanto el valor de la derivada direccional no está acotada ni superiormente ni inferiormente.

Saludos.

Entonces al no estar acotada no tiene direccional máxima ni mínima , verdad ?

Claro no tiene direccional máxima ni mínima

Saludos

23 Julio, 2021, 01:04 am
Respuesta #18

alucard

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