Autor Tema: Equipotencia entre conjuntos

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14 Junio, 2021, 04:58 pm
Respuesta #10

Dark

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Siguiendo la notación que llevo, y sea $$g(x)=\begin{cases}{0}&\text{si}& x\in C\\1 & \text{si}& x\notin C\end{cases}$$  como $$f^{-1}(0)=B$$ y $$g^{-1}(0)=C \Longrightarrow{B=C}$$, no sé si por ahí vaya la cosa, o deba tomar las funciones sobre el mismo conjunto.

14 Junio, 2021, 05:34 pm
Respuesta #11

Luis Fuentes

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Hola

Siguiendo la notación que llevo, y sea $$g(x)=\begin{cases}{0}&\text{si}& x\in C\\1 & \text{si}& x\notin C\end{cases}$$  como $$f^{-1}(0)=B$$ y $$g^{-1}(0)=C \Longrightarrow{B=C}$$, no sé si por ahí vaya la cosa, o deba tomar las funciones sobre el mismo conjunto.

La inyectividad, con tu notación sería:

\( F(g)=F(f)\quad \Rightarrow{}\quad g^{-1}(0)=f^{-1}(0) \)

Ahora como \( f \) y \( g \) sólo toman el valor \( 0 \) ó \( 1 \), dado \( x\in A \):

- si \( g(x)=0 \) entonces \( x\in g^{-1}(0)=f^{-1}(0) \) y entonces \( f(x)=0 \).
- si \( g(x)=1 \) entonces \( x\not\in g^{-1}(0)=f^{-1}(0) \) y entonces \( f(x)\neq 0 \) y por tanto \( f(x)=1 \).

Es decir \( f \) y \( g \) coinciden en todo punto y por tanto \( f=g \).

Saludos.