Autor Tema: Derivadas parciales/direccionales - aplicación del gradiente en superficies

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29 Junio, 2021, 01:46 am
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mgranadosgg

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Hola y gracias de antemano.

Quisiera pedir ayuda con el apartado 7 del siguiente ejercicio:

ENUNCIADO
--------------
Un equipo de oceanógrafos está elaborando un mapa del fondo del mar para intentar recuperar un antiguo barco hundido. Por medio del sonar, desarrollan el modelo:

\( D=250+30x^2+50sen(\displaystyle\frac{\pi y}{2}),0\leq{}x\leq{}2, -1\leq{}x\leq{}1 \)

donde \( x,y  \)denotan las distancias en \( Kms \). y \( D \) la profundidad en metros.

   1)Representar gráficamente la superficie.
   2)Como la gráfica anterior representa la profundidad, no es un mapa del fondo oceánico. ¿Cómo se podría cambiar el modelo de modo que se obtuviera con él la gráfica del fondo?
   3)¿A qué profundidad está el barco, si se encuentra en el punto de coordenadas x=1,y=0.5?
   4)Representar la curva de nivel que pasa por el punto donde se encuentra situado el barco.
   5)Calcular la pendiente del fondo en el punto donde se encuentra situado el barco en las direcciones norte y suroeste.
   6)Hallar la dirección de máximo cambio de profundidad en el punto posición del barco. ¿Cuál es ese cambio máximo?
   7)¿En qué dirección es nula la pendiente del fondo en ese punto?
   8)Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie del fondo en el punto donde se encuentra situado el barco.

Solución 7)

Para saber en qué dirección la pendiente del fondo es nula en el punto donde el barco se hundió \( (P=(1,0.5)) \), debemos calcular

  - el vector gradiente de la superficie en el punto \( P \).
  - plantear el vector normal (perpendicular) a dicho vector gradiente.
  - Hacer a ese vector normal que sea unitario.

Entonces:

  - El vector gradiente en el punto es: \( \nabla D(P)=(60,55.5) \).
  - Entonces, el vector normal al vector gradiente; es decir, \( \vec{v}=(a,b) \), debe cumplir:
       \( \nabla D(P)·\vec{v}=0 \rightarrow{} 60a+55.5b=0 \)
  - El vector \( \vec{v} \) no es unitario. Para que lo sea, su módulo debe valer \( 1 \). O sea:
       \( a^2+b^2=1 \)

Por tanto, todos los \( (a,b) \) que cumplan esas dos condiciones serán las direcciones en que es nulo el cambio de profundidad por unidad de desplazamiento.

Veamos:

Resolver el SLE por sustitución:

\( \begin{pmatrix}{60a+55.5b=0}\\{a^2+b^2=1}\end{pmatrix} \rightarrow{} \begin{pmatrix}{a=\displaystyle\frac{-37b}{40}}\\{(\frac{-37b}{40})^2+b^2=1}\end{pmatrix} \rightarrow{} \begin{pmatrix}{}\\{b=\pm{\displaystyle\frac{40\sqrt[ ]{2969}}{2969}}}\end{pmatrix}  \)

Sustituyendo, ahora, \( b \) en \( 60a+55.5b=0 \), se tiene:

  \( 60a+55.5b=0 \rightarrow{} \begin{pmatrix}{a=\displaystyle\frac{-37\sqrt[ ]{2969}}{2969}}\\{a=\displaystyle\frac{37\sqrt[ ]{2969}}{2969}}\end{pmatrix} \)
 

Por tanto, las soluciones del SLE son:

\begin{pmatrix}{a=\displaystyle\frac{-37\sqrt[ ]{2969}}{2969}}&{a=\displaystyle\frac{40\sqrt[ ]{2969}}{2969}}\\{a=\displaystyle\frac{37\sqrt[ ]{2969}}{2969}}&{b=\displaystyle\frac{-40\sqrt[ ]{2969}}{2969}}\end{pmatrix}

¿está bien?

Saludos.

29 Junio, 2021, 02:22 am
Respuesta #1

ingmarov

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29 Junio, 2021, 03:14 am
Respuesta #2

mgranadosgg

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Hola. Es cierto.

Me quedan dudas aún con el 7 y el 8.

Si pueden aclararme, se lo agradezco.

Saludos.

29 Junio, 2021, 04:23 am
Respuesta #3

ingmarov

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...

\begin{pmatrix}{a=\displaystyle\frac{-37\sqrt[ ]{2969}}{2969}}&{a=\displaystyle\frac{40\sqrt[ ]{2969}}{2969}}\\{a=\displaystyle\frac{37\sqrt[ ]{2969}}{2969}}&{b=\displaystyle\frac{-40\sqrt[ ]{2969}}{2969}}\end{pmatrix}

¿está bien?

Saludos.

Está bien. Has planteado un sistema imponiendo la ecuación \[ a^2+b^2=1 \], lo que obliga a que los vectores de la solución tengan su punto terminal en la circunferencia unitaria.
Nota que si \[ \vec{v} \] es solución, entonces \[ -\vec{v} \] también lo debe ser. Pero, serán solución todos los vectores paralelos a estos.

Saludos
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21 Julio, 2021, 07:03 pm
Respuesta #4

mgranadosgg

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Hola y muchas gracias.

Para el apartado 8) he hecho:

8)Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie del fondo en el punto donde se encuentra situado el barco.

SOLUCIÓN
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Tenemos que: \( D=250+30x^2+50.sen(\displaystyle\frac{\pi y}{2}) \) y que \( P=(1, 0.5, 315.355) \)

Entonces, hallamos las derivadas parciales: \( \frac{{\partial D}}{{\partial x}}=30x^2+300 \) y \( \frac{{\partial D}}{{\partial y}}=0 \)

En el punto \( P=(1, 0.5, 315.355) \), las derivadas parciales son: \( [\frac{{\partial D}}{{\partial x}}]_P=330 \) y \( [\frac{{\partial D}}{{\partial y}}]_P=0 \)

Luego, la ecuación del plano tangente, a la superficie, en el punto \( P \) es:

\( z-z_0=[\frac{{\partial D}}{{\partial x}}]_P.(x-x_0)+[\frac{{\partial D}}{{\partial y}}]_P.(y-y_0) \)

\( z-315.355=330(x-1)+0 \)

Simplificando:

\( z=330x-14.645 \)


¿Es correcto?

Saludos.