Autor Tema: Ecuación en derivadas parciales.

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17 Junio, 2021, 10:37 am
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gorila

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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¿Hay solución particular o toda la solución de este problema es  solución homogénea?

Encontrar una solución del problema de valores iniciales y de contorno.

\( \left.
\begin{array}{l}
{\dfrac{\partial u}{\partial t}=2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2},\quad 0<x<\pi,\quad t>0,}\cr
{}\cr
{u(0,t)=5,\qquad u(\pi,t)=10,\qquad t\geq 0,}\cr
{}\cr
{u(x,0)=sin3x-sin5x,\qquad 0<x<\pi}\cr
\end{array}\right\} \)

Mensaje corregido desde la administración.

17 Junio, 2021, 05:53 pm
Respuesta #1

mathtruco

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Hola gorila, tiene todo el aspecto de poder resolverse usando usando separación de variables y Series de Fourier, ¿Ya intentaste con eso?

17 Junio, 2021, 07:20 pm
Respuesta #2

gorila

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Hola gorila, tiene todo el aspecto de poder resolverse usando usando separación de variables y Series de Fourier, ¿Ya intentaste con eso?
El problema esta en que si quiero mantener las condiciones de contorno para el problema homogéneo no encuentro una solución a la ecuación X(0)*T(t)= 0 /   X(pi)**T(t)=0 para landa o constante diferente de 0

17 Junio, 2021, 07:25 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola gorila, tiene todo el aspecto de poder resolverse usando usando separación de variables y Series de Fourier, ¿Ya intentaste con eso?
El problema esta en que si quiero mantener las condiciones de contorno para el problema homogéneo no encuentro una solución a la ecuación X(0)*T(t)= 0 /   X(pi)**T(t)=0 para landa o constante diferente de 0

Estoy corrigiendo tus mensajes continuamente. Por favor muestra un mínimo interés en seguir las reglas del foro usando LaTeX para las fórmulas.

Por ejemplo, si pones:

[tex]X(\pi)\cdot T(t)=0[/tex] para [tex]\lambda[/tex]

obtienes:

\( X(\pi)\cdot T(t)=0 \) para \( \lambda \)

Saludos.

17 Junio, 2021, 08:12 pm
Respuesta #4

mathtruco

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Hola, tienes razón, el método requiere que las condiciones de borde sean homogéneas. Podrías hacer el cambio de variables

    \( v(x,t)=u(x,y)-5-\dfrac{5}{\pi}x \)

Con eso,

    \( v(0,t)=u(0,t)-5=0 \)

    \( v(\pi,t)=u(\pi,t)-5-5=0 \)

    \( v(x,0)=\sin(3x)-\sin(5x)-5-\dfrac{5}{\pi}x \)

y

    \( v_t=2 v_{xx} \).

Resuelves la EDP con la nueva variable, y luego \( u(x,t)=v(x,y)+5+\dfrac{5}{\pi}x \) será la solución de la EDP original.

Nota que el cambio de variables está inspirado en añadir la ecuación de la recta \( y=-5-\dfrac{5}{\pi}x \) que cumple lo que necesitamos: que en \( x=0 \) valga \( -u(0,t)=-5 \)  y  en \( x=\pi \) valga  \( -u(\pi,t)=-10 \). Nota que este procedimiento de cambio de variables puede ser aplicado siempre que tengas condiciones de borde igual a una constante.

17 Junio, 2021, 08:22 pm
Respuesta #5

gorila

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Hola, tienes razón, el método requiere que las condiciones de borde sean homogéneas. Podrías hacer el cambio de variables

    \( v(x,t)=u(x,y)-5-\dfrac{5}{\pi}x \)

Con eso,

    \( v(0,t)=u(0,t)-5=0 \)

    \( v(\pi,t)=u(\pi,t)-5-5=0 \)

    \( v(x,0)=\sin(3x)-\sin(5x)-5-\dfrac{5}{\pi}x \)

y

    \( v_t=2 v_{xx} \).

Resuelves la EDP con la nueva variable, y luego \( u(x,t)=v(x,y)+5+\dfrac{5}{\pi}x \) será la solución de la EDP original.

Nota que el cambio de variables está inspirado en añadir la ecuación de la recta \( y=-5-\dfrac{5}{\pi}x \) que cumple lo que necesitamos: que en \( x=0 \) valga \( -u(0,t)=-5 \)  y  en \( x=\pi \) valga  \( -u(\pi,t)=-10 \). Nota que este procedimiento de cambio de variables puede ser aplicado siempre que tengas condiciones de borde igual a una constante.

básicamente tengo que trasladar las condiciones de contorno a una solución particular y dejar las condiciones de contorno para el problema homogéneo que sean = 0

17 Junio, 2021, 08:27 pm
Respuesta #6

mathtruco

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Llamamos solución particular a una solución de la ecuación diferencial que estamos analizando, el cual no es el caso acá. Lo que hacemos es definir una nueva variable y con ella una nueva EDP de manera que tenga las condiciones de borde que necesitamos.

Espero que hayas leído el mensaje que escribió Luis más arriba.