Antes de nada, ¿qué operación consideras en el grupo simétrico \[ \Sigma_\Omega \]? (Por cierto, usa mejor esta notación y no \[ \sum \Omega \].)
Porque si consideras la composición en el orden usual, es decir, que \[ \sigma \tau = \sigma \circ \tau \], la definición que das: \[ a\sigma :=\sigma(a) \] no define una acción por la derecha. Esto es porque \[ a(\sigma \tau)=(\sigma \circ \tau)(a)=\sigma(\tau(a)) \] mientras que \[ (a \sigma)\tau=\tau(a\sigma)=\tau(\sigma(a)) \], que son distintos en general.
Por tanto, iría bien que aclararas exactamente las convenciones que usas.
Al margen de esto, no sé qué tipo de respuesta esperas cuando dices "otra forma de expresar la acción". Lo que das es la definición sin más, es decir, la acción por la derecha de \[ \sigma \] sobre \[ a \], \[ a \sigma \], se define como la imagen de \[ a \] por la aplicación biyectiva \[ \sigma \], \[ \sigma(a) \]. No sé qué tipo de caracterización alternativa buscas.
Gracias por responder, desconocía como representar de esta forma : "\[ \Sigma_\Omega \]"
Una nota tras la definición que encontré fue :"un grupo \( G \) actua sobre un conjunto \( \Omega \) cuando podemos asociar a cada elemento de \( G \) una permutación de \( \Omega \) de modo que la asosiación sea un homomorfismo de grupos".
Mi interpretación de esto fue que dado un \( g\in G \) entonces debe existir un homomorfismo \( \tau:G\rightarrow{\Sigma_\Omega} \) tal que \( \tau(g)=\tau_g \) y esta función \( \tau_g \) es una función biyectiva \( \tau_g:\Omega\rightarrow{\Omega} \) tal que \( \tau_g(a)=ag \).
Entonces en general puedo decir que una acción de \( G \) sobre un conjunto \( \Omega \) será \( ag \) si a esta composición se le puede asociar una composición de la forma \( a\tau_g \) considerando \[ \tau_g\in\Sigma_\Omega \] , pues he considerado una asociación de \( g \) a \( \tau_g \) la cual es un homomorfismo (esta asociación es \( \tau \)). Y como la acción es de la forma \( \Omega \) X \( G\rightarrow{\Omega} \) entonces basta reemplazar mi \( ag \) por \( a\tau_g=\tau_g(a) \) pues \( \tau_g(a)\in \Omega \).
Entonces si mi interpretación ha sido correcta, una forma de definir la acción de un grupo \( G \) sobre un con conjunto \( \Omega \) es asociando cada \( ag \) (donde \( a\in \Omega \) y \( g\in G \)) con una composición \( a\tau_g \) (donde \( \tau_g \) es un elemento del grupo simétrico \( \Sigma_\Omega \)), y luego considerando en este último \( a\tau_g=\tau_g(a) \). Es decir dado un \( ag \) lo asocio a un \( a\tau_g \) tal que este último sea igual a un \( \tau_g(a) \).
¿Esta forma de definir la acción es la única?
En el caso de mi post original, considero mi \( \tau_g=g \) por ser \( G\leq{\Sigma_\Omega} \),y entonces \( ag \) lo asocio a un \( a\tau_g \) pero por lo comentado al inicio de esta linea ,es decir considerar \( g=\tau_g \) , entonces \( ag=g(a) \).
