Autor Tema: Probar existencia de una bola en la intersección de dos

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12 Junio, 2021, 07:05 pm
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Ariel Fernández

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Por favor, me podrán ayudar con lo siguiente:

   a) Sean \( B_1 \) y \( B_2  \)dos bolas abiertas en \( (R_2, T\textsf{ usual}) \) tales que \( (x_0,y_0)\in B_1\cap B_2 \). Demostrar que existe una bola abierta \( B \) tal que \( (x_0,y_0)\in B\subset B_1\cap B_2 \).

Muchas gracias

Mensaje corregido desde la administración.

12 Junio, 2021, 08:26 pm
Respuesta #1

argentinator

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En el futuro trata de usar Latex para las expresiones matemáticas, porque si no, queda desprolijo y cuesta descifrar lo que estás diciendo.

Para entender la naturaleza del problema, podrías comenzar suponiendo que el punto \((x_0,y_0)=(0,0)\), o sea, el origen de \(\mathbb R^2\).
Luego, hay que aplicar la definición de bola, a fin de tener más espeícicamente a mano la información necesaria sobre las bolas \(B_1,B_2\).
Cada una tendrá un centro y un radio:

\(B_1=(p_1; r_1); B_2=(p_2;r_2)\), donde   \(p_1=(x_1,y_1);p_2=(x_2,y_2)\).

Luego hay que dibujar bolas genéricas, tales que \(p_0=(0,0)\) pertenezca a ambas, y preguntarse cómo se puede elegir un radio \(\rho\) tal que la bola de centro \((0,0)\) y radio \(\rho\) quepa en la intersección de \(B_1\) y \(B_2\).

¿Qué se puede hacer con los radios \(r_1,r_2\)? ¿Restarlos, tomar un promedio, tomar el mínimo, el máximo, el mínimo dividido 4000?  Pues bien, a pensar.


12 Junio, 2021, 09:22 pm
Respuesta #2

Ariel Fernández

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Claro, entiendo. Yo puse que si tomamos una bola abierta centrada en \( (x_0,y_0) \) que tenga como radio una distancia menor que la mínima distancia entre dos puntos de (\( B_1\cap B_2 \)) entonces dicha bola estaría incluida dentro de esa intersección. ¿Podría tomarse esto como correcto? ¿Verdad?

12 Junio, 2021, 11:16 pm
Respuesta #3

argentinator

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Como "correcto" no.
Como "idea posiblemente correcta", sí.
Una vez que tienes una idea posiblemente correcta (o sea, una conjetura),
lo que te queda por hacer ahora es demostrar que es verdadera.
Para eso tendrás que usar las propiedades de las bolas y las distancias,
por ejemplo la desigualdad triangular.

A veces las conjeturas que se te ocurren pueden estar bien, y a veces no.
Hay que demostrarlas.

Saludos.

12 Junio, 2021, 11:48 pm
Respuesta #4

Ariel Fernández

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Claro. Pero si digo que el conjunto intersección de las dos bolas abiertas es un conjunto abierto (por ser una intersección finita de abiertos) y no vacío, ya que por hipótesis al menos el punto \( (x_0,y_0) \) le pertenece. Al ser dicho conjunto un conjunto abierto, entonces todos sus pontos son interiores. Por lo que \( (x_0,y_0) \) sería un punto interior, por tanto siempre existirá un conjunto abierto que contenga a dicho punto y que a su vez ese conjunto esté incluido en la intersección (por definición de punto interior). Luego procedemos a tomar la mínima distancia entre (Xo, Yo) y otro punto perteneciente al conjunto abierto que contiene al punto y a su vez está contenido en la intersección. Llamo\(  t \) a esa distancia. Luego la bola abierta centrada en \( (x_0,y_0) \)de radio menor a \( t \) (por ejemplo, \( 0.5t \)) estaría incluida dentro del conjunto intersección. Creo que ahí estaría raspando ya la demostración. Solamente faltaría escribir algunos símbolos pero me he basado en conceptos topológicos. ¿O sigue siendo una conjetura?
Saludos

13 Junio, 2021, 12:11 am
Respuesta #5

Ariel Fernández

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Espera... creo que decir "mínima distancia" es algo imposible... no habría tal cosa.. puedo concebir el diámetro de un conjunto como el supremo de la distancia entre dos puntos, pero el mínimo no, ¿verdad?

13 Junio, 2021, 01:03 am
Respuesta #6

argentinator

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Espera... creo que decir "mínima distancia" es algo imposible... no habría tal cosa.. puedo concebir el diámetro de un conjunto como el supremo de la distancia entre dos puntos, pero el mínimo no, ¿verdad?

Es cierto, no tiene sentido.
Pero sí tiene sentido buscar una bola con un radio "chico".
En vez de mínima distancia en general, se podría tomar el mínimo radio de las bolas, o la la mínima distancia de \((x_0,y_0)\) al borde de dichas bolas, etc.

En cualquier caso, el candidato tiene que ser un número positivo, para que sea el radio válido de una bola.

13 Junio, 2021, 07:32 pm
Respuesta #7

Ariel Fernández

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Claro, estaba pensando utilizar el concepto de mínima distancia pero ahora con respecto al punto \( (x_0,y_0) \) y el conjunto frontera de la intersección, ahí creo que sí tendría sentido el concepto. Si tomo una bola centrada en \( (x_0,y_0) \) y de radio \( r \) menor que la mínima distancia entre \( (x_0,y_0) \)y el conjunto frontera de la intersección, entonces necesariamente esa bola estaría incluida en dicha intersección. ¿Así? ¿no?

13 Junio, 2021, 10:42 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Claro, estaba pensando utilizar el concepto de mínima distancia pero ahora con respecto al punto \( (x_0,y_0) \) y el conjunto frontera de la intersección, ahí creo que sí tendría sentido el concepto. Si tomo una bola centrada en \( (x_0,y_0) \) y de radio \( r \) menor que la mínima distancia entre \( (x_0,y_0) \)y el conjunto frontera de la intersección, entonces necesariamente esa bola estaría incluida en dicha intersección. ¿Así? ¿no?

Si; en este caso la distancia entre ese punto y esa frontera, es fácil de medir porque los conjuntos originales que intersecas son bolas. Si un bola de centro \( (x_i,y_i)  \) y radio \( r_i \) la distancia al borde de un punto \( (x_0,y_0) \) contenido en él es:

\( r_i-d((x_i,y_i),(x_0,y_0)) \)

Saludos.

P.D. Por favor intenta escribir tus fórmulas en LaTeX; he tenido que corregir todos tus mensajes.

19 Junio, 2021, 05:59 am
Respuesta #9

Ariel Fernández

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Muchas gracias amigos. Sí, ahí ya estoy aprendiendo a escribir con LaTex, de hecho hace un rato publiqué un nuevo tema usándolo. Ese momento estaba algo apurado pero ahora que ya aprendí un poco a cómo usarlo lo haré de ahora en más. Saludos